Borel-Cantelli

02.06.2013, 12:11

Gast0123

Borel-Cantelli

Meine Frage:

Hallo,
es geht um folgende Aufgabe für die ich irgendwie keine Lösung finden kann:

Es sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak{A},P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} (A_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty P(A \cap A_n) =\infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(A)>0 \Rightarrow P(\limsup_{n \to \infty} (A_n)) =1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich hätte jetzt gezeigt das aufgrund der Bedingung die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig sind und dann hätte ich es ja schon. (Indem ich das Lemma von Borel-Cantelli mit $\begin{eqnarray*} \Omega=A \end{eqnarray*}$ anwende)

Leider hab ich aber gar keine Ahnung wie ich die Unabhängigkeit zeigen kann und wäre über paar Tipps dankbar.

Oder bin ich auf dem komplett falschen Weg?

Gruß
Gast0123

02.06.2013, 12:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast0123
Ich hätte jetzt gezeigt das aufgrund der Bedingung die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig sind

Das wird dir kaum gelingen: Du kannst ja aus einer Folge, die die Bedingung erfüllt, endlich viele der $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ abändern - z.B. mit Abhängigkeiten - und die Bedingung bleibt dennoch erfüllt. Augenzwinkern

P.S.: Ich nehme natürlich an, dass du dich da im Index verschrieben hast und in Wahrheit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P(A \cap A_n) =\infty \end{eqnarray*}$

meinst.

02.06.2013, 12:33

gast0123

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ok, klingt logisch. Also muss es ohne Borel-Cantelli gehen.
Dann fällt mir nur noch ein das per Widerspruch zu lösen.
Also angenommen die Wkeit wäre 0 dann .... ( wie es weiter geht muss ich mir allerdings noch überlegen)

02.06.2013, 12:39

HAL 9000

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Tipp: Die Voraussetzung

$\begin{eqnarray*} P(A)>0 \quad \Rightarrow \quad \sum\limits_{n=1}^\infty P(A \cap A_n) =\infty \end{eqnarray*}$

kann man invertiert auch in der Form

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P(A \cap A_n) < \infty \quad \Rightarrow \quad P(A)=0 \end{eqnarray*}$

schreiben. Jetzt kannst du dir überlegen, für welche "Testmengen" $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ diese Aussage nützlich sein kann.

02.06.2013, 13:40

gast0123

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Iwie versteh ich nicht so ganz genau worauf du hinaus willst

Also $\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$ gilt ja nur für mengen die keine "masse" haben z.B. die leere Menge.

Aber das hilft mir auch nicht weiter....

(sry mein inet spinnt bisschen deshalb hat das so lange gedauert)

02.06.2013, 14:26

gast0123

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ich hätte noch folgendes ( das hilft mir aber ,glaub ich auch nicht viel weiter)

Gelte: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty P(A \cap A_n) < \infty \end{eqnarray*}$
Dann folgt aufgrund von Borel Cantelli:

$\begin{eqnarray*} 0= P (\limsup (A \cap A_n) =P(A \cap (\limsup (A_n))) = - P(A \cup \limsup A_n) + P(A)+ P(\limsup A_n) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <=> P(\limsup A_n) =P(A \cup \limsup A_n) -P(A) \end{eqnarray*}$

Aber das P(A) fällt ja schonmal weg, da es nach Vor. 0 ist ... nun ist aber doch eig. $\begin{eqnarray*} P(A \cup \limsup A_n) = P(\limsup A_n) \end{eqnarray*}$ also steht da ja $\begin{eqnarray*} P(\limsup A_n)=P(\limsup A_n) \end{eqnarray*}$

Also hilft mir das auch nicht viel verwirrt

02.06.2013, 14:29

HAL 9000

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Also gut, vermutlich kommst du nicht von selbst drauf:

Betrachte

$\begin{eqnarray*} B_k = \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ ,

dann ist $\begin{eqnarray*} (B_k) \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Mengenfolge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt schau mal, ob für die Testmengen $\begin{eqnarray*} B_k^c = \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} A_n^c \end{eqnarray*}$ (d.h. als $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) die Aussage

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P(A \cap A_n) < \infty \quad \Rightarrow \quad P(A)=0 \end{eqnarray*}$

anwendbar ist, d.h. die linke Aussage erfüllt íst. Augenzwinkern

02.06.2013, 15:04

gast0123

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Thx, da wäre ich nie drauf gekommen

Aber so ganz versteh ich das noch nicht: Warum konvergiert $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n \end{eqnarray*}$ müsste $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} A_\infty \end{eqnarray*}$ konvergieren. So wie ich das verstanden hab ist das nicht gleich $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n \end{eqnarray*}$ .... weil der limsup enthält ja alle Elemente die unendlich oft in der Folge $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ vorkommen und nicht "nur" die Elemente die in $\begin{eqnarray*} A_\infty \end{eqnarray*}$ vorkommen.

Den Rest (zugegeben es war nicht mehr viel zu tun) hab ich dann hinbekommen - oder ich hoffe dass das so richtig ist:
Mal in Kurzfassung :
1. Ja, auf die Menge ist die Aussage anwendbar
2. Es gilt $\begin{eqnarray*} P(B^{c}_k) =0 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} P(B_k) =1 \end{eqnarray*}$ (Komplementbildung)

02.06.2013, 15:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von gast0123
Warum konvergiert $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n \end{eqnarray*}$

Eine unüberlegte Frage: Weil das die Definition des $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ ist!!!

02.06.2013, 15:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von gast0123
1. Ja, auf die Menge ist die Aussage anwendbar
2. Es gilt $\begin{eqnarray*} P(B^{c}_k) =0 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} P(B_k) =1 \end{eqnarray*}$ (Komplementbildung)

Richtig, ich würde aber noch

Zitat:

4.Maßstetigkeit, d.h. für monoton (wachsende oder fallende) Folgen $\begin{eqnarray*} (B_k) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} P(\lim_{k\to \infty} B_k) = \lim_{k\to \infty} P(B_k) \end{eqnarray*}$ .

anfügen.

02.06.2013, 15:33

gast0123

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von gast0123
Warum konvergiert $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} A_n \end{eqnarray*}$

Eine unüberlegte Frage: Weil das die Definition des $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ ist!!!

Sorry, ich habs jetzt verstanden Hammer

Wir hatten den limsup so definiert:
$\begin{eqnarray*} := \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$

Aber ich ist klar warum das mit dem B_k äuquivalent ist

Das mit der Maßstetigkeit klingt auch plausibel smile

Danke nochmal - alleine wäre ich da nie draufgekommen smile

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