QR-Zerlegung mit Givens-Rotation | Aufgabenfrage

02.06.2013, 15:00	huebstAr	Auf diesen Beitrag antworten »
QR-Zerlegung mit Givens-Rotation \| Aufgabenfrage Hallo Zusammen, ich habe die Aufgabe eine QR-Zerlegung durchzuführen mittels Givens-Rotation. Dabei habe ich zwei Aufgaben, wobei ich bei beiden an verschiedenen Stellen festhänge. Erste Aufgabe: QR Zerlegung mittels Givens-Rotation $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein Vorgehen: Zunächst $\begin{eqnarray} a_{41} = 4 \end{eqnarray}$ elemenieren. $\begin{eqnarray} <br /> r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5<br /> c = \frac{a_{11}}{r} = \frac{3}{5}<br /> s = - \frac{a_{41}}{r} = - \frac{4}{5}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ damit ergibt sich $\begin{eqnarray} <br /> G_{14} = \begin{pmatrix} 3/5 & 0 & 0 & 4/5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -4/5 & 0 & 0 & 3/5 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> A^{(1)} = G_{14} A = \begin{pmatrix} 5 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Im nächsten Schritt würde ich sagen, man müsste das Element $\begin{eqnarray} a_{42} = -1 \end{eqnarray}$ elemenieren. Wie setze ich hier die Matrix der Form \begin{pmatrix} c & -s \\ s & c \end{pmatrix} an? An dieser Stelle komme ich leider nicht weiter. Zweite Aufgabe:* A=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 0 & 12 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}[/LATEX] b=\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}[/LATEX] 1. Schritt: $\begin{eqnarray} a_{31} = 4 \end{eqnarray}$ elemenieren $\begin{eqnarray} <br /> r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5<br /> c = \frac{a_{11}}{r} = \frac{3}{5}<br /> s = - \frac{a_{41}}{r} = - \frac{4}{5}<br /> \end{eqnarray}$ damit ergibt sich $\begin{eqnarray} <br /> G_{13} = \begin{pmatrix} 3/5 & 0 & 4/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4/5 & 0 & 3/5 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> A^{(1)} = G_{13} A = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 0 & 12 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ 2. Schritt: $\begin{eqnarray} a^{1}_{32} \end{eqnarray}$ elemenieren ... $\begin{eqnarray} <br /> G_{23} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 12/13 & -5/13 \\ 0 & 5/13 & 12/13 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> A^{(2)} = G_{23} * A^{(1)} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 0 & 13 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = R<br /> \end{eqnarray*}$ Soweit.. Wie fahre ich nun fort? Ich müsste m.M.n. nun ja den Lösungsvektor berechnen, richtig? Ein kleiner Denkanstoß wäre super!

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