Fast sicher - L^p Konvergenz

02.06.2013, 15:49

cundula

Fast sicher - L^p Konvergenz

Kennt ihr ein gegenbeispiel dass aus fast sicherer Konvergenz nicht L^p Konvergenz folgt? Habt ihr Literatur für mich bez des gegenbsp.?

02.06.2013, 16:13

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \Omega = [0,1] \end{eqnarray*}$ mit Borel-Sigmaalgebra und Lebesgue-Borel-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_n(\omega) = n\cdot 1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}(\omega) \end{eqnarray*}$

konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (also insbesondere auch "fast sicher") gegen $\begin{eqnarray*} X(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ . es ist aber $\begin{eqnarray*} \|X_n-X\|_p = n^{\frac{p-1}{p}} \geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1,p\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

02.06.2013, 16:21

cundula

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Hallo, danke für das Bsp.
Meinst du nicht eher:
$\begin{eqnarray*} E[|X_n -X|^p ] = n^{p-1} \end{eqnarray*}$
?

Liebe Grüße

02.06.2013, 16:36

HAL 9000

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Von gelegentlichen Verschreibern meine ich eigentlich, was ich sage und schreibe. Und oben ging es um die $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ -Norm, und die ist definiert als

$\begin{eqnarray*} \| Y \|_p := \left( E(|Y|^p) \right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$

womit $\begin{eqnarray*} \|X_n-X\|_p = n^{\frac{p-1}{p}} \end{eqnarray*}$ deinem

Zitat:

Original von cundula
$\begin{eqnarray*} E[|X_n -X|^p ] = n^{p-1} \end{eqnarray*}$

inhaltlich voll entspricht. Augenzwinkern

02.06.2013, 17:14

cundula

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Vielen Dank!

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