Komplexifizierung des Störgliedes

02.06.2013, 16:14	stoptherain	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexifizierung des Störgliedes Meine Frage: Hallo, habe ein Problem mit DGLs, die ein Störglied haben. Wir sollen es komplexifizieren, aber ich komme damit nicht klar. Angenommen wir haben die DGL: $\begin{eqnarray} y'' -4y'+y=cos(2x) \end{eqnarray}$ Dann ist die homogene Lösung ja einfach mit dem charakteristischem Polynom zu bestimmen: $\begin{eqnarray} y_h= c_1e^{3,73x} + c_2e^{0,27x} \end{eqnarray}$ Das Problem ist jetzt das Störglied. Es muss irgendwie in die Form $\begin{eqnarray} r(x)e^{vx} \end{eqnarray}$ gebracht werden, bloß wie? Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} e^{jv}=cos(v)+j sin(v) \end{eqnarray}$ Ich habe ja nur den Cosinus und kann nicht einfach einen Sinusteil dazuaddieren, oder doch? Das würde doch die Gleichung verfälschen.
03.06.2013, 00:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexifizierung des Störgliedes Nimm folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} y_{p} = a cos(2x) +b sin(2x) \end{eqnarray}$ leite 2 mal ab , setze die beiden Ableitungen in die DGL ein. Führe danach einen Koeffizientenvergleich durch (gemeint sind die Glieder mit cos (2x) und sin (2x) ) und Du bist fertig. Fasse dann noch die beiden Lösungen zusammen.
03.06.2013, 04:46	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die homogene Lösung hast du ja schon. Für die partikuläre Lösung mittels Komplexifizierung würde ich folgendermaßen vorgehen: es ist $\begin{eqnarray} e^{2ix}=cos(2x)+i \cdot sin(2x) \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} cos(2x)=Re(e^{2ix}) \end{eqnarray}$ Die Gleichung kann man dann umschreiben: $\begin{eqnarray} z'' -4z'+z=e^{2ix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z(x)=c \cdot e^{2ix} \end{eqnarray}$ Davon die beiden Ableitungen bilden. Hierbei, wie bei auch allen anderen Schritten, darauf achten, dass $\begin{eqnarray} i^2=-1 \end{eqnarray}$ ist. Die Ausdrücke kann man dann hier $\begin{eqnarray} z'' -4z'+z=e^{2ix} \end{eqnarray}$ einsetzen und nach c auflösen. Der Nenner ist dann noch komplex. Durch Erweitern und unter Anwendung der 3. binomischen Formel bekommt man i aus dem Nenner. Allgemein ist dann $\begin{eqnarray} c=\frac{k+i \cdot l}{m}=\frac{k}{m}+\frac{i \cdot l}{m} \end{eqnarray}$ k,l und m sind hier ganze Zahlen. Da $\begin{eqnarray} e^{2ix}=cos(2x)+i \cdot sin(2x) \end{eqnarray}$ ist die partikuläre Lösung dann $\begin{eqnarray} \frac{k}{m} \cdot cos(2x)+\frac{i \cdot l}{m} \cdot i \cdot sin(2x) \end{eqnarray}$ Grüße.

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