Partikuläre Lösung inhomogener DGL

02.06.2013, 16:15	Walter1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Partikuläre Lösung inhomogener DGL Hallo, ich versuche eine partikuläre (komplexe) Lösung von $\begin{eqnarray} y''+\omega y=Ae^{i\omega t} \end{eqnarray}$ zu finden mit $\begin{eqnarray} \omega >0,A\in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Das charakt. Polynom der homogenen DGL ist $\begin{eqnarray} P(t)=t^2+\omega^2=(t+i\omega)(t-i\omega) \end{eqnarray}$ , damit bilden $\begin{eqnarray} \varphi_1(x)=\cos(\omega x),\varphi_2(x)=\sin(\omega x) \end{eqnarray}$ ein Fundamentalsystem von Lösungen. Da $\begin{eqnarray} P(i\omega)=0 \end{eqnarray}$ , kann man die partikuläre nicht direkt mit $\begin{eqnarray} \psi(x)=\frac A{P(i\omega)}e^{i\omega x} \end{eqnarray}$ angeben, also versuche ich es mit Variation der Konstanten nach einer Bemerkung bei uns im Skript, d.h. $\begin{eqnarray} \psi(x)=\Phi(x)\cdot u(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi=\begin{pmatrix} \varphi_1 & \varphi _2 \\ \varphi_1' & \varphi_2'\end{pmatrix}, u(x)=\int_{x_0}^x \Phi(t)^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ Ae^{i\omega t}\end{pmatrix} dt =\int_{x_0}^x \frac 1\omega \begin{pmatrix} -\sin(\omega t)\cdot Ae^{i\omega t} \\ \cos(\omega t)\cdot Ae^{i\omega t} \end{pmatrix} dt \end{eqnarray}$ . Die Stammfunktionen dürfte man mit (mehrfacher) partieller Integration bekommen, allerdings kommt mir das sehr umständlich vor. Geht das auch anders? Und allgemein: ich bekomme am Ende ja einen Vektor, suche aber eine Funktion $\begin{eqnarray} \psi:\mathbb R\rightarrow\mathbb C \end{eqnarray}$ , oder? Wie bekomme ich aus dem Vektor dann meine Funktion?

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