Konvergenz in WS-keit, Varianz

02.06.2013, 17:13

cundula

Konvergenz in WS-keit, Varianz

Sei $\begin{eqnarray*} (X_i)_{i\ge1} \end{eqnarray*}$ eine Folge von ZV mit
$\begin{eqnarray*} E[X_i ] = \mu \forall i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Var(X_i)= \sigma^2 < \infty \forall i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Cov (X_i, X_j)= R(|i-j|) < \infty \forall i,j, \end{eqnarray*}$
wobei R: \IN -> \IR eine gegebene Funktion.
Wir betrachten $\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{i=1}^n X_i. \end{eqnarray*}$ Zeige , dass aus $\begin{eqnarray*} lim_{k->\infty} R(k)=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} \frac{S_n}{n}= \mu \end{eqnarray*}$ in Wahrscheinlichkeit.

Hint: Untersuche Varianz von S_n/n.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Var(S_n/n)= Var(\frac{\sum_{i=1}^n X_i }{n })=\frac{Var(\sum_{i=1}^n X_i )}{n^2} =\frac{Var(X_1)+...+Var(X_n) + \sum_{i \not= j} Cov(X_i, X_j)}{n^2}= \frac{\sigma^2 * n + \sum_{i \not= j} R(|i-j|)}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{\sum_{i \not= j} R(|i-j|)}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[S_n/n]= \mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(|S_n/n - \mu | \ge \epsilon ) \le \frac{Var(S_n/n)}{\epsilon^2} = \frac{ \frac{\sigma^2 * n + \sum_{i \not= j} R(|i-j|)}{n^2}}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Nun stecke ich, wie verwende ich: $\begin{eqnarray*} lim_{k->\infty} R(k)=0 \end{eqnarray*}$

02.06.2013, 18:35

HAL 9000

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Zunächst mal solltest du noch nutzen, dass die Kovarianz $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X_i,X_j) \end{eqnarray*}$ nur vom Indexabstand $\begin{eqnarray*} |i-j| \end{eqnarray*}$ abhängt, statt "wirklich" von den Indizes $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ .

Damit hast du das Vereinfachungspotential von $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}\left( \frac{S_n}{n} \right) \end{eqnarray*}$ noch nicht ausgeschöpft: Es ist dann nämlich

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}\left( \frac{S_n}{n} \right) = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} (n-k)R(k) \end{eqnarray*}$

Nun könnte man großzügig abschätzen

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} (n-k)R(k) \right| \leq \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} (n-k)|R(k)| \leq \frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n-1} |R(k)| \end{eqnarray*}$

und rechts dann den Cauchyschen Grenzwertsatz anwenden. Augenzwinkern

02.06.2013, 19:34

cundula

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Danke für deinen Beitrag.

Wie kommst du in deinen Ausführungen zu einen Betrag?

LG

02.06.2013, 20:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von cundula
Wie kommst du in deinen Ausführungen zu einen Betrag?

Die Kovarianz kann durchaus auch negativ sein. Dies darf nicht ignoriert werden, weil ansonsten einige Abschätzungen ganz schnell falsch sein können - so auch hier.

02.06.2013, 21:15

cundula

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Achso, ich danke dir.

LG

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