t^4-10t^2+1 irreduzibel in Q[t]?

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Nachgefrägt Auf diesen Beitrag antworten »
t^4-10t^2+1 irreduzibel in Q[t]?
Hi!

Ich habe mit folgendem Polynom ein persönliches Problemchen:



Ich möchte prüfen, ob f in irreduzibel ist.
Nun greift aber weder Eisenstein 1 noch 2. Auch mit Transformationen (t-2), (t-1), (t+1) und (t+2) bessert sich nichts. Und reduzieren hilft auch recht wenig, da es irgendwie immer zerfällt (mit Wolfram-Alpha bis 101 angeguckt).

Koeffzientenvergleich sollte ja auch herzlich wenig bringen über .

Nach Wolfram ist das Polynom allerdings irreduzibel und wenn ich es mir zeichnen lasse, habe ich nur reele Nullstellen.

Wie kann ich denn nun zeigen, dass f irreduzibel ist?

Helft mir bitte dieses Problem zu beseitigen. Freude
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: t^4-10t^2+1 irreduzibel in Q[t]?
Es gibt einen Satz über normierte Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten......

"Hat ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Nullstelle, so ist diese bereits Teiler des Absolutgliedes. Ist kein ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes eine Nullstelle des Polynoms, so ist dieses irreduzibel über Q
 
 
Nachgefrägt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: t^4-10t^2+1 irreduzibel in Q[t]?
Hallo Igrizu!

Okay! Dieser Satz gefällt mir und führt hier ja direkt zum Ziel:
Ganzzahlige Teiler des Absolutgleides, i.d.F. 1, sind nur 1 und -1.
Da und , ist somit f irreduzibel über Q.

Soweit so gut für meine Anschauung.
Nun möchte ich die Aufgabe allerdings gerne noch mit den Mitteln, welche sich mir aus der Vorlesung bieten, lösen.
Diese wären:
- Eisenstein 1 und Eisenstein 2
- Reduktionskriterium
- Transformationskriterium
- Definiton von irreduzibel
- i.d.F.: reduzibel mit f=gh und
- Koeffizientenvergleich
- i.d.F.: f irred. in f irred. in
- für p prim ist das p-te zyklotomische Polynom in irreduzibel

Ich bin mit keinem der Punkte weiter gekommen... unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Der letzte Teil der Aussage von lgrizu ist leider grob falsch. Damit kann man nicht auf die Irreduzibilität schließen.

Hier bietet sich ein Ansatz einer Zerlegung in 2 quadratische Polynome an. Das führt sofort zu einem Widerpsruch.
Nachgefrägt Auf diesen Beitrag antworten »

Okay!

Dann versuche ich es einmal:

Angenommen f reduzibel in Q[t].

(Eine Zerlegunng in Polynome vom Grad 1 und 3 ist nicht möglich, da f keine rationale Nullstelle hat. Eine Zerlegung in Polynome vom Grad 0 und Grad 4 liefert keine reduzible Darstellung, da das Polynom vom Grad 0 immer eine Einheit in Q ist.)

Dann existieren also Polynome g und h vom Grad 2 aus Q[t] mit f=gh.

Dann haben g und h die Form , .

Das Produkt gh sieht wie folgt aus:
.

Über Koeffizientenvergleich erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
I:
II:
III:
IV:
V:

Nun weiß ich nicht weiter. Ich weiß, dass ich durch und teilen könnte, da dies Einheiten in Q seien müssen.
Aber wie erhalten ich jetzt einen Widerspruch?
Nachgefrägt Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: War in einer Zeile verrutscht.
Über Koeffizientenvergleich erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
I:
II:
III:
IV:
V:
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nachgefrägt
Nun weiß ich nicht weiter. Ich weiß, dass ich durch und teilen könnte, da dies Einheiten in Q seien müssen.

Ah jo, Einheiten in Q, das schränkt die Auswahl ja schon mal ziemlich ein. Big Laugh

Naja, du solltest natürlich auf Irreduzibilität in Z[t] prüfen.

Und dein g und dein h kannst du von vornherein als normiert annehmen, da auch f normiert ist (überleg dir, warum, wenn das noch nicht klar ist). Das macht dein Gleichungssystem gleich schon mal übersichtlicher.
Nachgefrägt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und dein g und dein h kannst du von vornherein als normiert annehmen, da auch f normiert ist

Also ich weiß, dass wenn f nicht normiert wäre, könnte ich eine Einheit rausziehen, derart dass f=af ' mit hK(f)=1 und dann nur noch das normierte Polynom f ' auf Irreduziblität prüfen.
Kann ich so argumentieren, dass wenn h und g nicht normiert wären, ich h darstellen könnte als h = b h' mit b Einheit in Q und h' normiert und g darstellen könnte als g = c g' mit c Einheit in Q und g' normiert und dann gilt g' h' = f?
Aber dann wären doch nicht mehr zwangsweise die Koeffizienten von h' und g' aus Z?

Das Gleichungssystem würde sich wie folgt vereinfachen:

II:
III:
IV:
V:

Wenn wir auf Irreduziblität in Z prüfen, folgt aus V, dass .

1. Fall:

II:
IV:

Widerspruch.

2. Fall:

II:
IV:

Widerspruch.

Also existiert keine Zerlegunng von f in zwei Polynome mit Grad 2.

f irreduzibel über
f irreduzibel über
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das passt schon so, aber es ist viel zu aufwändig:

Es reicht ja der Ansatz:



Koeffizient bei t^3:
Koeffizient bei t^2:

In den jeweiligen Fällen (Plus oder Minus) folgt sofort, dass 12 bzw. 8 Quadratzahlen sind. Widerspruch!

Das ist damit ne Sache von wenigen Sekunden.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte - als Alternative, wenn auch nicht wirklich einfacher - auch einfach die 4 Wurzeln



von bestimmen und überprüfen, dass keines der Polynome



in liegt... Augenzwinkern
Nachgefrägt Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Euch allen für die Antworten!

Habe soweit alles verstanden.
Der einzige Punkt, der mir noch unklar ist, ist warum ich g und h als normiert annehmen kann. Ich hatte ja nach Mulders Beitrag versucht eine Argumentation dazu anzuführen, welche denke ich aber nicht ausreichend ist.
Kann mir abschließend noch jemand den Grund nennen, warum das funktioniert?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Der letzte Teil der Aussage von lgrizu ist leider grob falsch. Damit kann man nicht auf die Irreduzibilität schließen.



Entschuldigung, stimmt natürlich, es existiert keine Nullstelle über , reduzibel (zwei Polynome vom Grad 2) kann es dennoch sein.....
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nachgefrägt
Der einzige Punkt, der mir noch unklar ist, ist warum ich g und h als normiert annehmen kann.

In deinem obigen ersten Ansatz steht's doch fast schon:



Dafür gibt es in Z nur zwei Möglichkeiten: oder . Der erste Fall ist der, dass g und h schon normiert sind und beim zweiten Fall könnte man aus g und h jeweils (-1) ausklammern und dann wären wieder beide normiert. Und das (-1)*(-1) würde sich ja wieder zu +1 vereinfachen. Darum kann da nichts schiefgehen. Dann wäre man wieder in der gleichen Situation.
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