Krümmung von Raumkurven

03.06.2013, 11:58	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung von Raumkurven Meine Frage: Hallo Leute, ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen: Sei $\begin{eqnarray} c: I \to \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eine Kurve und $\begin{eqnarray} p \in c(I) \end{eqnarray}$ ein Kurvenpunkt. Zeigen Sie: Die Krümmung der Kurve im Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist der Grenzwert: $\begin{eqnarray} \kappa (p) = \lim_{q \to p} \frac{\phi}{\overline{pq}} \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ der Winkel zwischen den Tangentialvektoren in den Punkten $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ist. Und $\begin{eqnarray} \overline {pq} \end{eqnarray}$ die Länge des Kurvenstücks zwischen den Punkten $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Im Hinweis steht: Betrachten Sie in Parametriesierung nach Boglenlänge der Kurve $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ zunächst die Punkte $\begin{eqnarray} p = c(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q = c(t+h) \end{eqnarray}$ . Es ist zur Berechnung des Grenzwertes die Identität: $\begin{eqnarray} sin(\phi / 2) = \frac{1}{2}\|\|c'(t+h)-c'(t)\|\| \end{eqnarray}$ zu verwenden. Also ich brauche ja erstmal den Winkel zwischen den Tangentialvektoren oder? Die Tangentialvektoren sind ja in $\begin{eqnarray} p : c'(t) \end{eqnarray}$ und in $\begin{eqnarray} q: c'(t+h) \end{eqnarray}$ Den Winkel bekomme ich doch durch: $\begin{eqnarray} cos(\phi) = \langle c'(t),c'(t+h) \rangle \end{eqnarray}$ da nach Bl. param. ist kann ich das teilen durch die Norm weglassen. Die Länge: $\begin{eqnarray} \overline {pq} \end{eqnarray}$ erhalte ich über: $\begin{eqnarray} \int_t^{t+h} \! 1 \, ds = (t+h)-t = h \end{eqnarray}$ So jetzt wollte ich das zusammen setzen und den GW berechnen, aber das klappt nicht so richtig! Ich kann ja dann auch lim h gegen 0 machen.. aber sehe da noch kein Land! Kann mir bitte jemand helfen? Edit: Also ich habe nach dem was ich bislang weiß das ganze zu: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\phi}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{cos^{-1}(\langle c'(t+h),c'(t) \rangle)}{h} \end{eqnarray}$ ist das der richtige Ansatz?

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