Erwartungswert

03.06.2013, 20:56

student8

Erwartungswert

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass man den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(K)= \sum\limits_{k=1}^n k *P(K=k) \end{eqnarray*}$ (wobei das n über dem Summenzeichen gegen unendlich strebt)
auch so schreiben kann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^n P(K>j) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
was ich hier aus meiner Lösung sehen kann ist:
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{j=0}^{k-1} P(K=k) <br /> = \sum\limits_{j=0}^n \sum\limits_{t=j+1}^n P(T=t) <br /> = \sum\limits_{j=0}^n P(T>j) \end{eqnarray*}$

wie kommt man auf die letzten 2 Gleichungen ?? ich verstehe es nicht
könnte mir das jemand vielleicht anschaulicher erklären?

03.06.2013, 21:04

HAL 9000

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Es sollte unbedingt noch die nötige Voraussetzung an $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ genannt werden, ohne deren Erfülltsein die von dir genannte Behauptung i.a. NICHT gilt!

Und die lautet:

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist diskret verteilt auf $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von student8
= \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{j=0}^{k-1} P(K=k)
= \sum\limits_{j=0}^n \sum\limits_{t=j+1}^n P(T=t)
= \sum\limits_{j=0}^n P(T>j)

wie kommt man auf die letzten 2 Gleichungen ??

Beim vorletzten = wird einfach die Summationsreihenfolge von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ vertauscht. Tja, und für den letzten Schluss benötigt man eben jene Voraussetzung, die du weggelassen hattest.

03.06.2013, 21:06

student8

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uppss sorry ist diskret

03.06.2013, 21:16

student8

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wie kommt man aber jetzt auf die letzte Gleichung?? verstehe ich nicht

03.06.2013, 21:41

HAL 9000

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Welche natürlichen Zahlen sind denn $\begin{eqnarray*} >j \end{eqnarray*}$ ? Nun, das sind die Zahlen

$\begin{eqnarray*} j+1, j+2, \ldots, n-1, n \end{eqnarray*}$

Eigentlich sind es noch mehr, aber da die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ja nur auf $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ verteilt ist, kann man die Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(K=n+1), P(K=n+2),\ldots \end{eqnarray*}$

getrost ignorieren, denn die sind alle gleich Null.

P.S.: Dein $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist übrigens auch Quatsch (sehe ich erst jetzt), da muss ebenfalls $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ stehen.

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