Eulerformel-Verwirrungen

03.06.2013, 21:20

Erik 445

Eulerformel-Verwirrungen

Ich bin gerade am Verzweifeln bei der Anwendung der Eulerformel.
Habe folgende Differentialgleichung y'''' - 16y = 0 gelöst und erhalte vom char. Polynom die Lösungen:

z1 = 2
z2 = -2
z3 = 2i
z4 = -2i

was ja bedeuten würde: y = C1*e^2t + C2*e^-2t + C3*e^j2t + C4*e^-j2t

Und wolframalpha sagt mir aber das:
y = C1*e^2t + C2*e^-2t + C3*sin(2t) + C4*cos(2t)

jedoch lautet kaber die Eulerformel: e^j2t = cos(2t) + jsin(2t). Bei den beiden letzten Lösungen fällt immer das j weg, aber wieso?

03.06.2013, 21:27

HAL 9000

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Das sind andere $\begin{eqnarray*} C_3,C_4 \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn du es gleichsetzen willst, müsstest du eher

$\begin{eqnarray*} C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} + C_3e^{j2t} + C_4e^{-j2t} = C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} + C_5\sin(2t) + C_6\cos(2t) \end{eqnarray*}$

schreiben, und es besteht eine einfach ermittelbare lineare Beziehung zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} (C_3,C_4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (C_5,C_6) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

P.S.: Die zweite Darstellung (d.h. die mit sin/cos) hat den Vorteil, dass für jede reelle Lösung der DGL auch die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} C_5,C_6 \end{eqnarray*}$ reell sind, was bei $\begin{eqnarray*} C_3,C_4 \end{eqnarray*}$ i.a. nicht der Fall ist.

03.06.2013, 21:32

Erik44

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Zitat:

schreiben, und es besteht eine einfach ermittelbare lineare Beziehung zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} (C_3,C_4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (C_5,C_6) \end{eqnarray*}$

Und welche?

03.06.2013, 21:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Erik44
Und welche?

Einsetzen von

$\begin{eqnarray*} e^{j2t} = \cos(2t) + j\sin(2t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-j2t} = \cos(2t) - j\sin(2t) \end{eqnarray*}$

in die linke Gleichung, und dann Koeffiziientenvergleich. Dann mal wacker voran!

03.06.2013, 21:47

Erik44

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$\begin{eqnarray*} C_1*(cos(2t) + jsin(2t))+C_2*(cos(2t) - jsin(2t)) \end{eqnarray*}$
Wie in aller komme ich jetzt von da auf das:
$\begin{eqnarray*} C_5*cos(2t)+C_6*sin(2t) \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 21:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Koeffiziientenvergleich

Schon mal gehört?

Außerdem war oben noch von $\begin{eqnarray*} C_3,C_4 \end{eqnarray*}$ die Rede; die Symbole $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ waren anderweitig schon belegt. Es ist ärgerlich, wenn im Threadverlauf ohne Not ständig die Symbole gewechselt werden - das torpediert die Nachvollziehbarkeit des Threads. unglücklich

03.06.2013, 21:54

Erik44

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Zitat:

Schon mal gehört?

Ich verstehe nur nicht wie. Bei den zwei sin steht ein j, das verschwindet nicht einfach, Und den cos kann ich herausheben und erhalte dann

$\begin{eqnarray*} cos(2t)(C_1+C_2) + C_1*jsin(2t)-C_2*jsin(2t) \end{eqnarray*}$

03.06.2013, 21:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Erik44
Bei den zwei sin steht ein j, das verschwindet nicht einfach,

Warum sollen die auch verschwinden? Lass sie doch da, das sind ganz normale beherrschbare komplexe Konstanten.

03.06.2013, 22:29

Erik44

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Ich weiß nicht auf wen oder was du wütend bist, aber ich kann nichts dafür. j*sin(2t) ist keine Konstante, falls du das meinst.

Vielleicht kann mir ja wer anderer helfen, ich komme wirklich nicht drauf?

03.06.2013, 22:43

HAL 9000

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Ich bin nur dann wütend, wenn du nicht klar und deutlich sagst, dass du keine Ahnung davon hast, was "Koeffizientenvergleich" bedeutet. Es wird nach Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} \cos(2t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(2t) \end{eqnarray*}$ sortiert. D.h., wenn

$\begin{eqnarray*} C_3(\cos(2t) + j\sin(2t)) + C_4(\cos(2t) - j\sin(2t)) = C_5\sin(2t) + C_6\cos(2t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (C_3+C_4-C_6)\cos(2t) + (C_3j-C_4j-C_5)\sin(2t) = 0 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gelten soll, dann klappt dies nur, wenn

$\begin{eqnarray*} C_3+C_4-C_6 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_3j-C_4j-C_5 = 0 \end{eqnarray*}$

gilt - das beinhaltet der Koeffizientenvergleich! Was bei gegebenen $\begin{eqnarray*} C_3,C_4 \end{eqnarray*}$ dann schließlich

$\begin{eqnarray*} C_6 = C_3+C_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_5 = -C_3j+C_4j \end{eqnarray*}$

bedeutet.

03.06.2013, 22:46

Erik44

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Was soll denn das mit deinem Koefffizientenvergleich überhaupt? Bei einer Prüfung habe ich dann auch keine Lösung vor mir liegen und kann einen KV machen.

03.06.2013, 22:54

HAL 9000

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Da gibt man sich Mühe, die Äquivalenz der beiden Darstellungen

$\begin{eqnarray*} C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} + C_3e^{j2t} + C_4e^{-j2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} + C_5\sin(2t) + C_6\cos(2t) \end{eqnarray*}$

klarzumachen, und du kommst mit diesem bescheuerten Prüfungsgeheule - darum geht's doch gar, nicht, dass du das in einer konkreten Prüfungslösung machst. Finger1

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