Dichtefunktion bestimmen

03.06.2013, 21:36

fleurita

Dichtefunktion bestimmen

Meine Frage:
hey! Ich hab probleme damit bei dieser aufgabe ein ansatz hinzubekommen...:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine reellwertige zufallsvariable mit der dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Bestimme die dichtefunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der zufallsvariable $\begin{eqnarray*} U=S_0e^X \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} S_0>0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich glaub ich muss da mit dem transformationssatz arbeiten. Aber ich bekomm kein ansatz hin, wie fang ich an?

03.06.2013, 21:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fleurita
Ich glaub ich muss da mit dem transformationssatz arbeiten.

"Muss" muss nicht sein. Augenzwinkern

Wenn du es nicht hinkriegst mit dem Trafo-Satz, dann vielleicht einfach "zu Fuß" über die zugehörige Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_U(u) = P(U\leq u) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} u\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F_U(u)=0 \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ positiv ist. Und für $\begin{eqnarray*} u>0 \end{eqnarray*}$ kannst du umformen

$\begin{eqnarray*} F_U(u) = P(S_0e^X \leq u) = P\left(X \leq \ln\left(\frac{u}{S_0}\right) \right) = F_X\left( \ln\left(\frac{u}{S_0}\right) \right) \end{eqnarray*}$

Und dies nun abgeleitet nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ (Kettenregel!) ergibt die gesuchte Formel $\begin{eqnarray*} g(u) \end{eqnarray*}$ .

03.06.2013, 22:06

fleurita

Auf diesen Beitrag antworten »

danke HAL 9000.

Jetz wo ich deine antwort seh ist glaub ich mein problem leider eine stufe elementarer. Also ich hab eine auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (oder einer teilmenge davon?) $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ -verteilte zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und die zufallsvariable $\begin{eqnarray*} U=S_0e^X \end{eqnarray*}$ , deren dichtefunktion man bestimmen soll.

Der tipp mit dem trafo-satz kam von unserem tutor, aber ich glaube das ist mein problem, dass ich die "tiefe" der aufgabe nicht versteh.

Ich hoff ich hab dich jetz nicht vor den kopf gestoßen smile

03.06.2013, 22:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fleurita
Ich hoff ich hab dich jetz nicht vor den kopf gestoßen smile

Nein, hast du nicht. Ich verstehe nur einfach nicht, was du mir jetzt mit diesem Beitrag sagen willst. verwirrt

03.06.2013, 22:24

fleurita

Auf diesen Beitrag antworten »

sry viel gerede wenig inhalt smile

ich versteh die aufgabe gar nicht. Vllt hilft mir ein beispiel (ich hoff ich hab mir das jetz auch auf die schnelle gut ausgedacht):

Also ich hab die zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit der dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1_{(0 , \infty )}\; e^{-x} \end{eqnarray*}$

und jetz die zufallsvariable $\begin{eqnarray*} U=S_0e^X \end{eqnarray*}$ .

Ich hab jetz nur keine ahnung wie ich von dem was gegeben ist auf die dichtefunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ kommen kann. Für mich war der trafo-satz bisher immer nur eine möglichkeit integrale zu berechnen.

03.06.2013, 22:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weiß jetzt nicht, was an

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} F_U(u) = P(S_0e^X \leq u) = P\left(X \leq \ln\left(\frac{u}{S_0}\right) \right) = F_X\left( \ln\left(\frac{u}{S_0}\right) \right) \end{eqnarray*}$

Und dies nun abgeleitet nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ (Kettenregel!) ergibt die gesuchte Formel $\begin{eqnarray*} g(u) \end{eqnarray*}$ .

nun noch unklar sein soll: Beim Ableiten kannst du ja $\begin{eqnarray*} F_X'=f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_U'=g \end{eqnarray*}$ nutzen.

Wenn du aber mit aller Gewalt mit dem Trafo-Satz arbeiten willst, dann nenne ihn erstmal, damit ich mich auf die dir gewohnte Symbolik beziehen kann - schlechte Erfahrung aus anderen Threads, wenn man sowas für die Fragesteller auch noch raussucht (ewige Diskussion um irgendeine ungewohnte Symbolik usw. - das muss ich nicht haben).

03.06.2013, 23:05

fleurita

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich komm so langsam dahinter... (auch dank deinem 1. beitrag):

Mein hauptproblem war (die in mathe verbotene frage), wie du auf den ansatz $\begin{eqnarray*} F_U(u) = P(S_0e^X \leq u) \end{eqnarray*}$ kommst. Der rest bis zu ableitung ist mir jetz auch klar, danke smile

Also $\begin{eqnarray*} \left(F_X\left( \ln {\frac{u}{S_0}} \right)\right)'=f\left( \ln {\frac{u}{S_0}} \right)\cdot \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ . Ist das richig?

Das mit dem trafo-satz können wie vllt im anschluss machen.

03.06.2013, 23:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fleurita
Mein hauptproblem war (die in mathe verbotene frage), wie du auf den ansatz $\begin{eqnarray*} F_U(u) = P(S_0e^X \leq u) \end{eqnarray*}$ kommst.

Das überrascht mich jetzt aber wirklich. Die Verteilungsfunktion ist nun mal als $\begin{eqnarray*} F_U(u):=P(U\leq u) \end{eqnarray*}$ definiert, und wenn man da $\begin{eqnarray*} U=S_0e^X \end{eqnarray*}$ einsetzt ...

Zitat:

Original von fleurita
Also $\begin{eqnarray*} \left(F_X\left( \ln {\frac{u}{S_0}} \right)\right)'=f\left( \ln {\frac{u}{S_0}} \right)\cdot \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ . Ist das richig?

Ja.

Prinzipiell macht der Trafo-Satz auch nichts anderes. Das Vorgehen hier kannst du dir aber merken, denn das ist prinzipiell auch für nichtinjektive Funktionen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ geeignet (wo der Trafo-Satz in seiner meist kommunizierten einfachen Form versagt).

03.06.2013, 23:19

fleurita

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Das überrascht mich jetzt aber wirklich. Die Verteilungsfunktion ist nun mal als $\begin{eqnarray*} F_U(u):=P(U\leq u) \end{eqnarray*}$ definiert, und wenn man da $\begin{eqnarray*} U=S_0e^X \end{eqnarray*}$ einsetzt ...

Davon wär ich auch überrascht smile

Ich meinte wie du überhaupt darauf kommst mit $\begin{eqnarray*} F_U(u) \end{eqnarray*}$ anzufangen (bzw. $\begin{eqnarray*} G_U(u) \end{eqnarray*}$ ).

Aber ich weiß ja wie es ist, wenn man weiß wie es geht und es versucht einem (einer) ahnungslosen zu erklären, der (die) vollkommen auf dem schlauch steht smile

Ich denke das mit dem trafo-satz vertagen wir und ich mach dann ein neuen thread auf.

Auf jeden fall: vielen dank für alles Blumen

03.06.2013, 23:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, du meinst das wirklich ernst mit dieser unsäglichen Frage. Ich handle nämlich getreu dieser Devise

mit X Würfeln >= Y 4-en würfeln ,

da ich die wirkliche "Wie kommt man auf..."-Frage weder beantworten kann noch will: Ich bin Mathematiker, kein Gehirnforscher.

Neue Frage »

Antworten »

Dichtefunktion bestimmen

Verwandte Themen