Anzahl der Bahnen in einer Menge bezüglich Gruppenwirkung bestimmen

03.06.2013, 19:48	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Bahnen in einer Menge bezüglich Gruppenwirkung bestimmen Aufgabe: Wie betrachten die Menge U aller affinen Unterräume des R^n und die Gruppe G aller Affinitäten auf R^n. Wie viele Bahnen gibt es in U bezüglich der Wirkung von G? Beweisen Sie ihre Behauptung. Ansatz: Behauptung: Es gibt n+1 Bahnen. Gruppenwirkung von G auf U: $\begin{eqnarray} \varphi: G \times U \rightarrow U, \varphi(f,V)=f(V). \end{eqnarray}$ Für ein V in U ist $\begin{eqnarray} G(V)=\{ f(V): f \in G\} \end{eqnarray}$ die Bahn von V. Aus voriger Teilaufgabe folgt: $\begin{eqnarray} W \in U \end{eqnarray}$ und dim W = dim V für alle W in G(V). Ich möchte nun zeigen: Für beliebiges W in U mit dim W = dim V gilt: W in G(V), d.h. es gibt ein g in G, sodass g(V)=W. Es seien $\begin{eqnarray} V:= V' + v, W:= W' +w, \quad v,w \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , V', W' UR des R^n. Gesucht ist ein g in G, d.h. g ist von der Form: $\begin{eqnarray} g(x)=L(x) + u, \quad u \in \mathbb{R}^n, \quad L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ linear und Automorphismus, für alle x in R^n. Betr: $\begin{eqnarray} g(V)= g(V'+v)=L(V'+v) + u = L(V') + L(v)+u. \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} u= w- L(v) \Rightarrow g(V)=L(V') + w. \end{eqnarray}$ Es bleibt zu zeigen, dass ein L mit obigen Eigenschaften existiert, sodass $\begin{eqnarray} L(V')=W'. \end{eqnarray}$ Wir wissen: V' und W' sind UR des R^n und dim V' = dim W'. D.h. geometrisch ausgedrückt haben wir zwei gleichdimensionale, geometrische Gebilde durch den Ursprung und wir müssen V' auf W' "drehen". Dann müsste L quasi die Funktion einer Drehmatrix haben. An dieser Stelle weiß ich aber nicht so recht, wie ich das konkret aufschreiben soll. Hat jemand eine Idee?
03.06.2013, 19:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehme doch einfach eine Basis von $\begin{eqnarray} V' \end{eqnarray}$ und schicke sie auf eine Basis von $\begin{eqnarray} W' \end{eqnarray}$ ...
03.06.2013, 20:16	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, danke. Dass ich darauf nicht selbst gekommen bin.

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