Lineare Algebra I - Basen und deren Koordinatenabbildung

03.06.2013, 22:12

Lylly

Lineare Algebra I - Basen und deren Koordinatenabbildung

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe vor mir und stehe irgendwie völlig auf dem Schlauch,vielleicht kann mir ja jemand Helfen!?

Also die Aufgabe lautet:

Zeigen sie, dass für alle Paare C={ $\begin{eqnarray*} \vec{c_1} ,\vec{c_2} \end{eqnarray*}$ } und D={ $\begin{eqnarray*} \vec{d_1} ,\vec{d_2} \end{eqnarray*}$ }
verschiedener Basen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auch zugehörtigen Koordinatenabbidungen $\begin{eqnarray*} K_C und K_D \end{eqnarray*}$ verschieden sind, d.h. es (mindestens) einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} K_C(\vec{u}) \neq K_D(\vec{u}). \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee war es dieses Problem in einem kommutativen Diagramm darzustellen.

03.06.2013, 22:38

Lylly

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RE: Lineare Algebra I - Basen und deren Koordinatenabbildung
Oder reicht es vielleicht nur einen gegen Beweis zu bringen?

03.06.2013, 23:07

Nofeykx

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Du brauchst nur einen Vektor, dessen Koordinaten bezüglich C anders sind als seine Koordinaten bezüglich D. Es reicht also, wenn du einen einzigen angibst.

Kleiner Tipp: Wenn $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ unterschiedlich sein sollen, dann muss mindestens eines der beiden gelten:

$\begin{eqnarray*} c_1 \neq d_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_2 \neq d_2 \end{eqnarray*}$

Du kannst dann ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass ersteres, also $\begin{eqnarray*} c_1 \neq d_1 \end{eqnarray*}$ gilt. (Das bedeutet, dass der andere Fall genauso geht und du dir also nur einen von beiden rauspicken musst).

Hast du eine Idee?

Mal nebenbei: Schreibt ihr tatsächlich Pfeile über Vektoren?

03.06.2013, 23:28

Lylly

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Also ich hab jetzt einfach irgendwelche Basen genommen und anhand von denen gezeigt, dass es einen Vektor gibt (welchen ich beliebig gewählt habe), dass $\begin{eqnarray*} K_C (v) \neq K_D (v) \end{eqnarray*}$
passt das dann so?

Zitat:

Mal nebenbei: Schreibt ihr tatsächlich Pfeile über Vektoren?

Ja, wir müssen Pfeile über die Vektoren schreiben.

Danke für deine Hilfe smile

03.06.2013, 23:31

Nofeykx

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Kannst du ein wenig ausführen, was du gemacht hast?
Für mich hört sich das gerade so an, als hättest du eine beliebige aber bestimmte Basis genommen, also mit tatsächlichen Werten. Falls ich damit richtig liege, geht das nicht.

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