Extremwerte im 3D

04.06.2013, 09:01

RB7

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Extremwerte im 3D

Hi Leute!
Könnte mir jemand erklären wie ich nach x und y ableite?
Habe eine 3D-Fläche, bei der ich lokale und globale Minima und Maxima bestimmen muss.
$\begin{eqnarray*} F(x,y)=x^{3}-2xy^{2}+y^{3} \end{eqnarray*}$

für den Bereich: $\begin{eqnarray*} \left\{(x,y)\in R^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Also ich kann das ganze nach X ableiten oder nach Y... das schaff ich! Tanzen

Tanzen

aber nach beidem... ka wie das geht!

Oder heißt dass das ich f'(x) bilden muss und dann noch nach y ableiten?

04.06.2013, 09:11

hjghn

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RE: Extremwerte im 3D
Du musst die Funktion sowohl nach x mit festem y als auch nach y mit festem x ableiten.
Du kriegst dann fx und fy
Bei der zweiten Ableitung wieder jede nach y und x.
fxx, fyy und fxy, wobei fxy=fyx

04.06.2013, 09:18

RB7

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Danke für die Info!
Also:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{2}-2y^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(y)=3y^{2}-4xy \end{eqnarray*}$

Nun kann ich ausrechnen, wo die Extremwerte liegen.
Jetzt
f''(x)=6x
f''(y)=6y-4x

Soweit so gut. Was meinst du nun mit fxy?! verwirrt

verwirrt

04.06.2013, 09:23

hjghn

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Damit meine ich f'8x) nach y und f'(y) nach x ableiten.

04.06.2013, 09:26

RB7

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ok super....
also f'(x,y) = -4y wie du gesagt hast, kommt bei beidem das selbe raus!
Muss ich bei den Extrema irgendetwas beachten? oder setzte ich jetzt einfach f'(x) = 0 und f'(y) = 0 und dann in fxy ein um zu erfahren ob es < v > 0 ist?!

04.06.2013, 09:35

hjghn

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Jetzt musst du f'(x) = 0 und f'(y) = 0 berechnen.

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04.06.2013, 09:46

RB7

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Super danke!
Also bekomme ich hier immer einen allg. Teil raus?!

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{2}-2y^{2} = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}-\frac{2}{3}y^{2} = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\sqrt{\frac{2}{3}y^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(y)=3y^{2}-4xy = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{2}-\frac{4}{3}xy = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{1,2}=\frac{4}{3}x \end{eqnarray*}$

04.06.2013, 09:47

RB7

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RE: Extremwerte im 3D
Was hat es nun mit dem bereich am Hut?

Zitat:

für den Bereich: $\begin{eqnarray*} \left\{(x,y)\in R^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

04.06.2013, 10:21

hjghn

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RE: Extremwerte im 3D
Das ist die Einheitskreisscheibe, die sowohl abgeschlossen als auch beschränkt und damit kompakt im R^2 ist.
Deshalb existiert für die stetige Funktion f nach dem Satz von Weierstraß eine globale Minimalstelle und eine globale Maximalstelle, die entweder am Rand der Menge oder im Inneren liegen können.
Ausserdem musst du das x und y berechnen, für die die Ableitungen 0 werden.

04.06.2013, 10:57

RB7

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ok!
Habe jetzt $\begin{eqnarray*} x=\pm\sqrt{2/3} *y \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y=4x/3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt in
$\begin{eqnarray*} F(x,y)=x^{3}-2xy^{2}+y^{3} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Ich erhalte für f(x):
y1=0; y2=1.1357; y3=-1.1357;

Für f(y) bekomme ich x=0

stimmen die Ergebnisse?

04.06.2013, 13:54

Mystic

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@RB7

Leider ist so ziemlich alles ein aufgelegter Unsinn was du hier schreibst... unglücklich

unglücklich

Das einzige, was noch brauchbar ist, sind die Ableitungen nach x und y

Zitat:

Original von RB7
Danke für die Info!
Also:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{2}-2y^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(y)=3y^{2}-4xy \end{eqnarray*}$

allerdings ist auch hier die Notation sowas von daneben, denn es muss natürlich richtig heißen

$\begin{eqnarray*} f_x=3x^2-2y^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y=3y^2-4xy=0 \end{eqnarray*}$

Das ist aber ein Gleichungssystem, d.h., beide Gleichungen müssen erfüllt sein... Das geht aber nur für x=y=0, d.h., das ist hier der einzige Kandidat(!) für ein Extremum im Innern deines vorgegebenen Bereichs... Du solltest dir nun anhand der Funktionsgleichung überlegen, warum das aber kein Extremum sein kann...

Falls es also überhaupt Extrema gibt (und die gibt es!), können das nur mehr Randextrema sein, für welche also dann jedenfalls x²+y²=1 gilt...

04.06.2013, 14:05

RB7

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ok also wenn ich zeige dass:
f''x, f''y und f''xy = 0 dann is es ein wendepunkt! Da kommt immer raus 0=0!
Aber warum muss ich das für alle drei zeigen?
Passt das? Wie komm ich auf die Globalen?

04.06.2013, 14:41

Mystic

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Ich muss mich da mal selber zitieren, nämlich

Zitat:

Original von Mystic
Du solltest dir nun anhand der Funktionsgleichung überlegen, warum das aber kein Extremum sein kann...

und hab die entscheidende Stelle sogar farblich hervorgehoben, damit du sie nicht wieder überliest... Jedenfalls war da nirgendwo von Ableitungen die Rede... Falls du an die Hessematrix gedacht haben solltest, also

$\begin{eqnarray*} H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(wieder auf Notation achten!), so kannst du die hier vergessen, da sie für x=y=0 die Nullmatrix ist, was noch alle Möglichkeiten zulässt...

04.06.2013, 16:25

RavenOnJ

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Bemerkenswert, dass im ganzen Thread noch nicht der Begriff der "partiellen Ableitung" gefallen ist.

04.06.2013, 16:47

RavenOnJ

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Zitat:

Original von RB7
ok also wenn ich zeige dass:
f''x, f''y und f''xy = 0 dann is es ein wendepunkt! Da kommt immer raus 0=0!
Aber warum muss ich das für alle drei zeigen?
Passt das?

Das passt leider nicht, da dies kein hinreichendes Kriterium für einen Sattelpunkt ist (nicht Wendepunkt, den gibt's sowieso nur im 1-dimensionalen Fall $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ). Beispielsweise sind bei der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x,y) := x^4+y^4 \end{eqnarray*}$ an der Stelle (0,0) die 1. und 2. partiellen Ableitungen 0, die Funktion hat dort aber ein Minimum, keinen Sattelpunkt.

Dies ist analog zum 1-dimensionalen Fall. Dort kann man auch nicht unbedingt anhand der ersten beiden Ableitungen entscheiden, ob es sich um ein Extremum oder um einen Sattelpunkt handelt. Dass die ersten beiden Abelitungen gleich Null sind ist nur ein notwendiges Kriterium für einen Sattelpunkt.

05.06.2013, 09:20

RB7

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Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hesse-Matrix habe ich angewandt!
bedeutet das allgemein?
HesseMatrix = 0 -> Alles offen
HesseMatrix < 0 -> Maximum
HesseMatrix > 0 -> Minimum

Wenn ja dann hab ich das Beispiel gelöst. Mein Problem ist, dass wir das Stoffgebiet noch nicht gemacht haben ich aber schon zur Prüfung antreten möchte!
Danke Leute!

05.06.2013, 09:26

RavenOnJ

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Bei einer Matrix macht >0 oder <0 keinen Sinn. Stattdessen würde man sagen "positiv definit" oder "negativ definit". Ist die Hesse-Matrix positiv (negativ) definit, dann liegt ein Minimum (Maximum) vor. Ansonsten ist sie indefinit und alles ist offen.

Für ein globales Extremum ist natürlich auch das Verhalten der Funktion auf dem Rand des Definitionsbereichs wichtig.

BTW: Das mit der Prüfung würde ich besser lassen. Du hast wohl noch zu große Defizite.

05.06.2013, 09:47

RB7

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Für ein globales Extremum ist natürlich auch das Verhalten der Funktion auf dem Rand des Definitionsbereichs wichtig.

Danke für den Ratschlag! Ich kann ca 80% des Stoffgebietes Freude

Freude

Wie überprüfe ich das? Teufel

Teufel

05.06.2013, 09:52

lmnbvc

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Hallo,
also ich weiß ja nicht was du studierst, aber ich habe hier eine Seite, die auch zur Vorbereitung herangezogen werden kann.
Es geht da unter anderem auch um Aufgaben wie die hier.
mathematik.uni-muenchen.de/~schoerne/examen-w12.php

05.06.2013, 09:55

RB7

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Studiere Maschinenbau!

05.06.2013, 10:03

RavenOnJ

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Erst mal musst du feststellen, wo die lokalen Extrema liegen, und dann prüfen, ob das Maximum (Minimum) auf dem Rand größer (kleiner) als alle lokalen Maxima (Minima) ist.

05.06.2013, 10:07

RavenOnJ

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Zitat:

Original von RB7
Studiere Maschinenbau!

Selbst wenn man Maschbau studiert macht es wohl keinen Sinn eine Prüfung zu machen, wenn die Vorlesung noch nicht zu Ende ist. Ist natürlich nur meine persönliche Meinung. Das mit den 80% bezweifle ich doch stark. Kenne zwar euren Stoff nicht, aber was du hier bisher präsentiert hast, war doch etwas dürftig.

05.06.2013, 10:19

RB7

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Zitat:

Original von lmnbvc

mathematik.uni-muenchen.de/~schoerne/examen-w12.php

Sehr geile Seite! Danke! So versteht man das alles sofort!

05.06.2013, 10:22

RavenOnJ

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Fehler: Server nicht gefunden

Der Server unter mathematik.uni-muenchen.de konnte nicht gefunden werden.

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schoerne/examen-w12.php

05.06.2013, 10:29

RB7

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Bei mir gehts!

05.06.2013, 10:36

RavenOnJ

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Bei mir auch, wenn man noch www. davorsetzt. mathematik. ist halt kein Servername sondern eine Subdomain.

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