spezielle Differentialgleichung (Sprung aus großer Höhe, Luftwiderstand, mehrere Variablen)

04.06.2013, 12:05	Wombat123	Auf diesen Beitrag antworten »
spezielle Differentialgleichung (Sprung aus großer Höhe, Luftwiderstand, mehrere Variablen) Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem: Die Aufgabe lautet, herauszufinden ob ein Fallschirmspringer, der aus der Stratosphäre (Höhe 50km) springt, die Schallmauer durchbrechen kann. (Felix Baumgärtner eben). Dabei sollen die Änderung der Luftdichte (Luftwiderstand), sowie die Änderung der Gravitationskonstante mit Einbezogen werden. Meine Ideen: Mein Ansatz ist in dem beigefügtem Bild zu sehen. Ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll, da ich die Abhängigkeiten in der Differentialgleichung nicht eindeutig bestimmen kann. Ich bin der Meinung, dass es vermutlich auf eine numerische Lösung mit dem Runge-Kutta Verfahren hinauslaufen wird, weiß aber nicht wie ich da hinkomme. Ich bin dankbar für jede Hilfe!
04.06.2013, 14:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke es genügt die Methode von Heun, also kurze Linearisierung des Problems. es gibt 4 Variable $\begin{eqnarray} x, v, a , \rho \end{eqnarray}$ , dabei habe ich der Reihe nach definiert: $\begin{eqnarray} \rm Luwi = Luwi(\rho(x),v)<br /> \rm Gewi= Gewi(x)<br /> \rm Force=Luwi(\rho(x),v) + Gewi (x)<br /> \rm a = Force(x,v)/mass \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------------------------- loop --------------------------------- $\begin{eqnarray} a_k= a(x_k,v_k) <br /> x_{k+1}= x_{k} + v_k \cdot \Delta t + \frac 12 a_k\cdot (\Delta t)^2<br /> v_{k+1}= v_k+ a_k\cdot \Delta t \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------------------------------ mit $\begin{eqnarray} x_0=6375000+50000 , ~ v_0=0 \end{eqnarray}$ ein PC rechnet so schnell, dass Runge-Kutta kaum schneller aber ziemlich fehleranfällig ist. Man kann ja folgendes machen: $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ nacheinander kleiner machen, man sieht dann sehr schnell ob sich noch was Wesentliches ändert. Das nützt aber alles nur dann was, wenn man die Schallgeschwindigkeit in Dichte und Temperatur berücksichtigt.
04.06.2013, 16:05	Wombat123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, dass du meine gedanklichen Wirren aufgelöst hast. Dein Ansatz sieht simpel und gut aus. Ich werde es bei Zeiten implementieren und die Ergebnisse auswerten. Für die Dichte nehme ich die barometrische Höhenformel für lineare Temperaturverläufe. Siehe Bild (Quelle Wikipedia). "a" ist hier nicht die Schallgeschwindigkeit, sondern der Temperaturgradient für die jeweilige atmosphärische Schicht in der man sich befindet, abgeleitet aus den Eckdaten der Normatmosphäre. Des Weiteren wird eine Fallunterscheidung fällig, da der Luftwiderstand ab Mach > 0,3 sich anders berechnet.
04.06.2013, 16:44	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
na bestens. Ich selbst habe mal so einen einfachen Runge-Kutta versucht. Man berechnet als zuerst den Prediktor $\begin{eqnarray} a^ \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \Delta t^* = \frac 12 \Delta t \end{eqnarray}$ und verwendet diesen dann für das gesamte Intervall. Das funktioniert sehr sehr gut. Warum das so ist, weiss ich nicht. Es sieht so aus, als ob der Fehler quadratisch mit $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ abnimmt. Das funktioniert auch ziemlich gut, wenn man einen Mondschuss mit Umkehrbahn versucht, wo $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray*}$ teilweise senkrecht aufeinanderstehen. Das ist gerade der Fall, wo Heun schwach ist: Aus Kreisumlaufbahnen entstehen leicht wachsende Spiralen. Gruss Dopap

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