Frage zum Bew. des Fixpunktsatzes

25.02.2007, 17:26

Kerstin1

Frage zum Bew. des Fixpunktsatzes

Hallo,

beim Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes sind wir wie folgt vorgegangen:

Zitat:

Man zeigt, daß man durch das rekursive Ermitteln des Fixpunktex $\begin{eqnarray*} x_{k+1} = f(x_k) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge erhält:

$\begin{eqnarray*} \forall_{j,k \in \mathbb{N}}: |x_{x+j} - x_k| \leq ... \leq \frac{L^k}{1-L} |x_1 - x_0| \end{eqnarray*}$

Nun ist ja nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} L \in [0,1[ \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (L^k)_{k \in \mathbb{N}} \to 0 \end{eqnarray*}$ (*).

Jetzt mein Problem:

Zitat:

Wir haben nun gesagt, daß wegen (*) gilt $\begin{eqnarray*} \forall_{\varepsilon > 0} \exists_{m \in \mathbb{N}} \forall_{k \geq m, j \in \mathbb{N}}: L^k \leq \frac{1-L}{|x_1 - x_0|} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . (**)

Und damit $\begin{eqnarray*} |x_{k+j} - x_k| \leq \frac{L^k}{1-L} |x_1 - x_0| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Warum macht man diesen Zwischenschritt (**)?

Aus der Folgerung (*) geht doch schon hervor, daß man eine Cauchyfolge hat, oder nicht? Also man könnte doch von (*) aus direkt auf das $\begin{eqnarray*} ...<\varepsilon \end{eqnarray*}$ schließen?

Außerdem ist mir nicht klar, wie dieser Zwischenschritt überhaupt zustande kommt. Wie kommt das $\begin{eqnarray*} L^k \end{eqnarray*}$ denn auf die "kleinergleich-Seite"?

Schonmal danke fürs Durchlesen - ist leider etwas länger geworden.

25.02.2007, 18:32

Raumpfleger

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RE: Frage zum Bew. des Fixpunktsatzes
Bei einer Cauchy-Folge liegen in jeder $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung des Häufungspunktes fast alle Elemente der Folge. Der Häufungspunkt ist der Fixpunkt des kontraktiven Operators, also wird das Bestreben sein, das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu konstruieren, anderenfalls ist ja gar kein Beweis geführt - der Fixpunkt kann nur als Häufungspunkt einer Cauchyfolge als existent dargestellt werden.

26.02.2007, 11:14

Kerstin1

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Hallo,

ich verstehe leider nicht so richtig, was du meinst.

Nach Voraussetzung ist f ja kontrahierend, also mit Lipschitzkonstante L<1. Dann folgt doch direkt, daß etwa ein Index $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ existiert, sodaß für alle $\begin{eqnarray*} k \geq u \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |x_{k+j}-x_k| \leq \frac{L^k}{1-L}|x_1 - x_0| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Das ist ja gerade die Definition der Cauchyfolge. Also hat man doch gezeigt, daß durch die Iteration eine Cauchyfolge erzeugt wird.

Mein Problem liegt nur in dieser einen Zeile (**). Wie kommt die zustande und warum benötigt man die überhaupt?

Daß eine Cauchyfolge in Banachräumen konvergiert ist ja ein eigener Satz und damit klar - auch daß der Grenzwert der gesuchte Fixpunkt ist, da der Fixpunktsatz ein abgeschlossenes Intervall voraussetzt und f stetig ist.

26.02.2007, 11:18

Kerstin1

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Oh, ich glaube jetzt sehe ich es. Man hat einfach umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{L^k}{1-L} |x_1 - x_0| \leq \varepsilon \Leftrightarrow L^k \leq \frac{1-L}{|x_1 - x_0|} \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ach je, dann war die ganze Aufregung umsonst smile

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