Konvergenz uneigentliches Integral

04.06.2013, 19:54	Patrick12345678910	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz uneigentliches Integral Meine Frage: Hallo ich habe ein Problem bei der Berechnung des Grenzwerts eines uneigentlichen Integrals: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! \frac{x^{x} }{e^{x^{2}}} \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung. Bei der Angabe steht, dass man partiell integrieren und erst danach die Konvergenz untersuchen soll. Aber für: 1.) x^x ist abgeleitet: x^x * (log(x) + 1) Man kann das aber anscheinend nicht integrieren, laut Vorlesung 2.) e^x^2 ist abgeleitet: 2xe^(x^2) Auch das kann man nicht integrieren, laut Vorlesung. Wie soll ich da dann partiell integrieren? Hat vielleicht jemand einen Tipp? Wenn ich mit die Funktion plotten lasse dann erkennt man, dass die Fläche immer kleiner wird und anscheinend konvergieren muss. Aber auch Wolframalpha kann hier nichts mit der Formel anfangen. Vielen Dank im Voraus, Patrick
04.06.2013, 20:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mit dem Tipp wenig anfangen. Die exakte Berechnung dieses Integrals halte ich kaum für durchführbar, möglicherweise geht es dir ja nur um die Existenz? Dafür reicht die aus $\begin{eqnarray} \ln(x)\leq x-1 \end{eqnarray}$ folgende Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac{x^x}{e^{x^2}} = \exp(x(\ln(x)-x)) \leq \exp(x\cdot (-1)) = \exp(-x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ völlig aus, umd ein konvergentes Majorantenintegral zu haben.

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