Integral von cos^2(x)

04.06.2013, 22:41

HansimGlück

Integral von cos^2(x)

Hi,

bin gerade bei beim Lösen der DGL $\begin{eqnarray*} y''-4y'+5y=e^{2x}*cos(x) \end{eqnarray*}$
Störfunktion = f(x)

Die Partikuläre Lösung möchte ich einersiets mit 1) Variantion d. Konstanten / Wronski Determinante und andererseits mit 2) Ansatzmethode lösen. Letzte Lösungsvariante klappt, erstere leider nicht.

$\begin{eqnarray*} y_1(x)= e^(2x)*sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2(x)=e^(2x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

1) Wronski Determinante / Variation d. Konstanten
$\begin{eqnarray*} c'_1 (x) = \frac{\begin{vmatrix} 0 & y_2(x) \\ f(x) & y'_2(x) \end{vmatrix} }{W(x)} =\frac{\begin{vmatrix} 0 & e^{2x} cos(x) \\ e^{2x} cos(x) & 2e^{2x}cos(x)-e^{2x}sin(x) \end{vmatrix} }{e^{4x}} = -cos^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c'_2 (x) = \frac{\begin{vmatrix} e^{2x} sinx) & 0 \\ 2*e^{2x}*sin(x)+e^{2x}cos(x) & e^{2x}cos(x) \end{vmatrix} }{e^{4x}} = sin(x) * cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1 = sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$
Lt. Wolfram Alpha ist das falsch, das richtige Ergebnis des Integrals ist: $\begin{eqnarray*} \frac{x+sin(x)*cos(x)}{2} \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht, wie hier ein x im Ergebnis auftauchen kann. Habe das Integral mit partieller Integration gelöst.

Könnte mir jemand helfen?

04.06.2013, 22:49

HAL 9000

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RE: Integral von cos^2(x)

Zitat:

Original von HansimGlück
Habe das Integral mit partieller Integration gelöst

... und hast dabei ganz offensichtlich einen Fehler in der Rechnung. Zeig doch mal die Schritte.

05.06.2013, 00:05

HansimGlück

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auf $\begin{eqnarray*} c_1 = sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$ komm ich nun auch nicht mehr, allerdings auf ein anderes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int - cos * cos * dx = -sin * cos - \int - sin * -sin * dx = -sin * cos - \int sin * sin * dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -sin * cos - ( -cos * sin - \int - cos * cos * dx )= -sin * cos +cos * sin + \int - cos * cos * dx \end{eqnarray*}$

Irgendwas stimmt da nicht?...

Edit Equester: Überlänge reduziert.

05.06.2013, 00:22

chris95

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Ja, jetzt steht 0=0 da.

Mit nem Additionstheorem kommste hier gut weiter. z.b:

$\begin{eqnarray*} \cos^2 x = \frac 1 2 \left(\cos 2x +1\right) \end{eqnarray*}$

05.06.2013, 07:43

Che Netzer

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Nach der ersten partiellen Integration wäre die Anwedung von $\begin{eqnarray*} \sin^2x=1-\cos^2x \end{eqnarray*}$ eine ganz gute Idee.

05.06.2013, 09:15

Mystic

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Zitat:

Original von HansimGlück
auf $\begin{eqnarray*} c_1 = sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$ komm ich nun auch nicht mehr, allerdings auf ein anderes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \int - cos * cos * dx = -sin * cos - \int - sin * -sin * dx = -sin * cos - \int sin * sin * dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -sin * cos - ( -cos * sin - \int - cos * cos * dx )= -sin * cos +cos * sin + \int - cos * cos * dx \end{eqnarray*}$

Irgendwas stimmt da nicht?...

Unbeschadet aller anderen Einwände (s.o.) fehlen hier die Argumente x der trigonometrischen Funktionen... Lehrer

05.06.2013, 10:11

HansimGlück

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Ah, also Additionstheoreme anwenden. Daran hab ich nicht gedacht bzw. muss ich mir die mal genauer anschauen, damit mir auffällt, wenn mal ein Term da steht, der durch ein Additionstheorem umgeformt werden kann.

Wollte mir Tipparbeit ersparen unglücklich

05.06.2013, 13:05

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} \int - cos * cos * dx = -sin * cos - \int - sin * -sin * dx = -sin * cos - \int sin * sin * dx = -sin * cos - \int 1 *dx + \int cos^2 *dx \end{eqnarray*}$
Wenn ich hier nun den gesuchten Integralausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite bringe, verschwindet das gesuchte Integral. Also hab ich hier wohl einen Fehler eingebaut?

Nun mit dem Additionstheorem von chris95:
$\begin{eqnarray*} \int -cos^2(x) * dx=-\int cos^2(x) * dx= -\int (\frac{cos(2x)}{2}+\frac{1}{2})dx = -\frac{1}{2} \int cos(2x) * dx - \frac{1}{2}\int 1 * dx = -\frac{1}{2} \int cos(u) \frac{du}{2} - \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \int cos(u) *du - \frac{x}{2} =-\frac{1}{4} * (-sin(u)) - \frac{x}{2} = \frac{1}{4} * sin(2x) - \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$
Da haut leider schon wieder etwas nicht hin...

05.06.2013, 16:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von HansimGlück
Wenn ich hier nun den gesuchten Integralausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite bringe, verschwindet das gesuchte Integral.

Nö.

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