Unterraum dicht in l2 ?

04.06.2013, 23:45	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum dicht in l2 ? Hi Matheboard, gegeben sei ein Unterraum A von $\begin{eqnarray} l^2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A=\{ x\in l^2: \sum_{n\in \mathbb N} \frac{x_n}{n} = 0 \} \end{eqnarray}$ Nun gilt es zu beweisen ob A dicht in $\begin{eqnarray} l^2 \end{eqnarray}$ ist. Ich hab an Baire gedacht, aber komme irgendwie nicht weiter. Ist meine Vermutung ueberhaupt korrekt, dass A dicht ist? VG
05.06.2013, 01:45	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
A ist der Kern eines stetigen linearen Funktionals das nicht verschwindet.
05.06.2013, 08:51	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, und aus der Stetigkeit von T folgt, dass kerT abgeschlossen ist. Also ist A nicht dicht, da kerT ungleich der ganze Raum. Die Abgeschlossenheit hab ich so gezeigt. Sei x ein Haeufungspunkt von A, dann gibt es eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_n \subset A \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} x_n \rightarrow x \; \text{fuer} \; n\to \infty \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Tx = T (\lim_{n\to\infty} x_n) = \lim_{n\to\infty} T(x_n) = 0 \end{eqnarray}$ Den Limes darf ich rausziehen, wegen der Stetigkeit, welche aus der Beschraenktheit kommt.
05.06.2013, 12:58	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
So gehts, oder du benutzt, dass Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen automatisch abgeschlossen sind.

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