Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen - Seite 2

06.06.2013, 11:56

Hilbertalbträume

Ah das ist das Kronecker-Delta. Das ist ja:

$\begin{eqnarray*} \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1 \text{ falls } i=j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \text{ falls } i \ne j \end{eqnarray*}$

Unser $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist ja in unserem Fall das i $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ aber es ist ja nicht gesagt was das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist, also weiss ich nicht was das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

06.06.2013, 12:00

RavenOnJ

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Das n ist das n vom Basisvektor $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ .

Du hast immer noch nicht gschrieben, was du jetzt eigentlich zeigen willst.

06.06.2013, 12:35

Hilbertalbträume

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Das n ist das n vom Basisvektor $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ .

Und was ergibt dann das Skalarprodukt?

Zitat:

Original von RavenOnJ
Du hast immer noch nicht gschrieben, was du jetzt eigentlich zeigen willst.

Ja ich soll doch anhand des Skalarproduktes zeigen, dass es orthogonal ist, also das Skalarprodukt Null ergibt, oder nicht? Und dadurch soll zeige ich die Hilbertbasis, oder liege ich da falsch, dann korrigiere mich bitte.

06.06.2013, 12:54

RavenOnJ

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RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen

Zitat:

Original von Hilbertalbträume

Zitat:

Original von RavenOnJ
Das n ist das n vom Basisvektor $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ .

Und was ergibt dann das Skalarprodukt?

Eigentlich sollte das jetzt klar sein. Das Skalarprodukt ist

$\begin{eqnarray*} \langle (x_k)_k,b_n\rangle=\langle (x_k)_k,(\delta_{in})_{i \in \mathbb N}\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_k \delta_{kn} \end{eqnarray*}$

mit dem Kronecker-Delta $\begin{eqnarray*} \delta_{in} \end{eqnarray*}$ . Welcher Summand dieser Summe kann denn überhaupt $\begin{eqnarray*} \not= 0 \end{eqnarray*}$ sein? Ruf dir die Definition des Kronecker-Delta in Erinnerung. Ich will dir das nicht vorrechnen, denn es ist zu einfach.

Es geht dir also um die Anregung von Che:

Zitat:

Original von Che Netzer
Dass diese Folgen den ganzen $\begin{eqnarray*} \ell_2 \end{eqnarray*}$ aufspannen, muss man gar nicht (direkt) zeigen.
Man nehme sich eine Folge $\begin{eqnarray*} x\in\ell_2 \end{eqnarray*}$ , die zu allen $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ orthogonal ist, und folgere $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Orthogonal zu allen $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass das Skalarprodukt der gesuchten Folge $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit jedem beliebigen Basisvektor $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Deswegen musst du erst mal das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle (x_k)_k,b_n\rangle \end{eqnarray*}$ berechnen. Was folgt daraus, dass das für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein muss?

06.06.2013, 13:27

Hilbertalbträume

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RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von Hilbertalbträume
Eigentlich sollte das jetzt klar sein. Das Skalarprodukt ist
$\begin{eqnarray*} \langle (x_k)_k,b_n\rangle=\langle (x_k)_k,(\delta_{in})_{i \in \mathbb N}\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_k \delta_{kn} \end{eqnarray*}$

mit dem ... . Welcher Summand dieser Summe kann denn überhaupt $\begin{eqnarray*} \not= 0 \end{eqnarray*}$ sein? Ruf dir die Definition des Kronecker-Delta in Erinnerung. Ich will dir das nicht vorrechnen, denn es ist zu einfach.

$\begin{eqnarray*} \delta_{kn} \end{eqnarray*}$ kann Null werden. $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ ist ja ungleich Null, aber was ergibt das denn jetzr im Allgemeinen, es liegt mir auf der Zunge aber... verwirrt

Zitat:

Original von RavenOnJ
Es geht dir also um die Anregung von Che:

Zitat:

Ja, dass das Skalarprodukt gleich Null ist ich bin verwirrt.

06.06.2013, 13:49

RavenOnJ

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RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen

Zitat:

Original von Hilbertalbträume
$\begin{eqnarray*} \delta_{kn} \end{eqnarray*}$ kann Null werden. $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ ist ja ungleich Null, aber was ergibt das denn jetzr im Allgemeinen, es liegt mir auf der Zunge aber... verwirrt

"kann Null werden" ist eine leichte Untertreibung. $\begin{eqnarray*} \delta_{kn} \end{eqnarray*}$ ist für fast alle k Null, außer für welche(s) (n sei fest gewählt)? Du hast eine Summe, in der fast alle Summanden Null sind, außer?

06.06.2013, 14:00

Hilbertalbträume

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Ausser die halt $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ sind. D.h. $\begin{eqnarray*} \delta_{11}=1, \delta_{22}=1 \end{eqnarray*}$ usw. ist 1 und $\begin{eqnarray*} \delta_{12}=0, \delta_{21}=0 \end{eqnarray*}$ ist 0 usw. aber was ist jetzt die Quintessenz im Endeffekt für das Skalarprodukt. Aber wann treffen die Fälle ein, dass $\begin{eqnarray*} n=k \text{ bzw. } n \ne k \end{eqnarray*}$

06.06.2013, 14:04

RavenOnJ

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In dem Skalarprodukt ist n fest gewählt und k variiert von 1 bis unendlich. Es ist also nur $\begin{eqnarray*} \delta_{nn}=1 \end{eqnarray*}$ , für alle anderen k ist $\begin{eqnarray*} \delta_{kn}=0,k\not= n \end{eqnarray*}$ . Jetzt bilde die Summe des Skalarprodukts.

06.06.2013, 14:13

Hilbertalbträume

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RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
$\begin{eqnarray*} \langle (x_k)_k,b_n\rangle=\langle (x_k)_k,(\delta_{in})_{i \in \mathbb N}\rangle=\sum_{k=1}^{\infty} x_k \delta_{kn}=0 \end{eqnarray*}$

Es tritt ja nie der Fall $\begin{eqnarray*} \delta_{nn}=1 \end{eqnarray*}$ ein.

06.06.2013, 14:36

RavenOnJ

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Natürlich tritt der ein, bei k=n. $\begin{eqnarray*} \delta_{nn} = 1 \end{eqnarray*}$ ist Teil der Definition des Kronecker-Delta.

06.06.2013, 14:42

Hilbertalbträume

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Aber wie soll ich dann das Skalarprodukt bestimmen, wenn ich doch nicht weiss wann was in Kraft tritt geschockt