Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen

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Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Meine Frage:
Servus. Also aus der Vorlesung wissen wir, dass

Jetzt soll ich zeigen, dass die Familie , bestehend aus den Folgen , eine Hilbertbasis in bildet.

Meine Ideen:
Also ich habe die Familie , bestehend aus den Folgen gegeben und soll zeigen, dass diese eine Hilbertbasis in bildet. Ich weiß nicht so recht wo ich anfangen soll. Wir haben einen Hilbertraum und die Folgen und sollen anhand dessen, die Hilbertbasis zeigen. Jemand einen Tipp im Ärmel?

Danke @ alle
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zeigen, dass die Vektoren der Basis wirklich diesen Raum aufspannen. Du kannst das dadurch zeigen, dass jede Folge durch eine Linearkombination aus Basiselementen gebildet wird, die eindeutig ist.
 
 
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Du musst zeigen, dass die Vektoren der Basis wirklich diesen Raum aufspannen.

Und was sind die Vektoren der Basis in diesem Raum? Die verstecken sich vor mir verwirrt .

Zitat:
Original von RavenOnJ
Du kannst das dadurch zeigen, dass jede Folge durch eine Linearkombination aus Basiselementen gebildet wird, die eindeutig ist.


Also unter einer Linearkombination verstehe ich dass man einen Vektor, der sich durch andere Vektoren unter Vektoraddition bzw. skalaren Multiplikation ausdrücken lässt. Wie stelle ich das aber bei dem Problem an?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Der ist ein Vektorraum und die Basisvektoren hast du doch definiert, das sind diese . Mach dir klar, dass das auch Folgen sind und wie die aussehen. Die Folgen sind die Vektoren in diesem Vektorraum. Diese gilt es mittels der Basis darzustellen.
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Der ist ein Vektorraum


du meinst wohl? Oder den Hilbertraum hoch zwei?

Zitat:
Original von RavenOnJ
und die Basisvektoren hast du doch definiert, das sind diese . Mach dir klar, dass das auch Folgen sind und wie die aussehen. Die Folgen sind die Vektoren in diesem Vektorraum. Diese gilt es mittels der Basis darzustellen.


Hm ja der Hilbertraum ist ja (oft ein unendlichdimensionaler) Vektorraum, d.h. ergo er hat unendlich viele Basisvektoren.

Jetzt sind meine Basisvektoren also:



Das ist doch gemeint mit

Jetzt die wohl geläufigste Frage in diesem Forum, wie mache ich das?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hilbertalbträume
Zitat:
Original von RavenOnJ
Der ist ein Vektorraum


du meinst wohl? Oder den Hilbertraum hoch zwei?


http://de.wikipedia.org/wiki/Folgenraum

Die Basisvektoren sind Folgen, also mit der 1 an n-ter Stelle.
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Die Basisvektoren sind Folgen, also mit der 1 an n-ter Stelle.


Ahsoo okay. Und wie bilde ich jetzt die Linearkombination, bzw. die hilft ja hier nicht sonderlich ich muss ja zeigen dass ein Hilbertraum ist, d.h. was muss ich machen? Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem zeigen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Dass diese Folgen den ganzen aufspannen, muss man gar nicht (direkt) zeigen.
Man nehme sich eine Folge , die zu allen orthogonal ist, und folgere .
Wäre noch gut zu wissen, wie eine Hilbertraum-Basis hier defniert wurde.
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Also in unserem Buch steht:

Eine Hilbert-Basis in ist eine Folge in mit folgenden Eigenschaften.

Für fast alle ist (Orthonormalität)

ist und gilt für alle , so folgt

Mit der Bedingung erreicht man, dass die Folge "maximal" oder "unverlängerbar" ist: Wenn es nämlich ein gibt mit für alle , so ist auch eine Orthonormalfolge.

Eine Hilbertbasis bezeichnet man auch als VONS=vollständiges Orthonormalsystem.

Zitat:
Original von Che Netzer
Dass diese Folgen den ganzen aufspannen, muss man gar nicht (direkt) zeigen.
Man nehme sich eine Folge , die zu allen orthogonal ist, und folgere .


"Man nehme sich eine Folge , die zu allen orthogonal ist, und folgere " das kann ich irgendwie nicht umsetzen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Zitat:
Original von Hilbertalbträume
"Man nehme sich eine Folge , die zu allen orthogonal ist, und folgere " das kann ich irgendwie nicht umsetzen.

Das ist genau eure zweite definierende Eigenschaft.
Wähle und nimm an, dass für alle .
Das ist soweit klar?
Was bedeutet denn diese Gleichung ausgeschrieben, falls ?
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Zitat:
Original von Che Netzer
Das ist genau eure zweite definierende Eigenschaft.
Wähle und nimm an, dass für alle .
Das ist soweit klar?

Ja wenn das senkrecht sein soll muss das Skalarprodukt Null ergeben.

Zitat:
Original von Che Netzer
Was bedeutet denn diese Gleichung ausgeschrieben, falls ?


ausgeschrieben? Da muss ich leider passen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Die Frage war, wie für aussieht. Die (erste) Gleichung kannst du dann nämlich vereinfachen.
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Zitat:
Original von Che Netzer
Die Frage war, wie für aussieht. Die (erste) Gleichung kannst du dann nämlich vereinfachen.


des x da einsetzen? Ist das mit dem Vereinfachen gemeint? Ansonsten wüsste ich nicht wie ich es vereinfachen könne.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Jetzt nutze die Definition des Skalarproduktes...
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Ich blick des nicht. Das Skalarprodukt hat mehrere Eigenschaften
- ist bilinear
- symmetrisch
- positiv definit

Welche könne ich mir denn nützlich machen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Welches Skalarprodukt habt ihr denn auf definiert? geschockt
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Ja laut ist und gilt für alle , so folgt

Aber wie könne man denn die Skalarprodukteigenschaften ausnützen? Sehe nichts was sich vereinfachen lässt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Zitat:
Original von Hilbertalbträume
Ja laut ist und gilt für alle , so folgt

Das sollst du zeigen.

Und die Frage, welches Skalarprodukt ihr auf definiert habt, ist eigentlich nicht mit "Ja" zu beantworten.
Welches ist das also?
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Emm verwirrt das Skalarprodukt besteht aus und unser Folge , aber was unser ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Mit bezeichnest du irgendeine Folge aus .

Als ihr definiert habt, habt ihr doch aber sicher angegeben, welches Skalarprodukt ihr darauf benutzt.
Sonst könntest du ja nicht von einem Hilbert-Raum reden.
Wie lautet also eure vollständige Definition des Hilbert-Raums ?
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Hm. Also ein euklidischer Vektorraum , der versehen mit der Norm:

vollständig ist, heißt Hilbertraum. Naja im Buch steht noch was von komplexen Hilberträumen und ein Hilbertraum im versehen mit dem kanonischen Skalarprodukt

Danne ist noch was mit Stetigkeit des Skalarproduktes und eine Folge heißt Orthonormalfolge, wenn für alle gilt:

mehr steht da nicht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Wenn ihr aber nur den Vektorraum ohne ein Skalarprodukt definiert habt, hat es keinen Sinn, dort von Orthogonalität zu sprechen.
Schlag also die Definition von nach. Die Definition dieses konkreten Raumes.
Dort ist womöglich auch ein Skalarprodukt auf definiert worden. Wenn nicht, dann passierte das später.

In jedem Fall solltest du in der Lage sein, eine Definition aus deinen Unterlagen herauszusuchen.
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Also ich habe jetzt noch etwas mit Lebesgue-Integrierbarkeit:

Sind , so ist , also ist Lebesgue-integrierbar und man kann definieren:

.

Das müsste es doch jetzt sein, oder?

Die durch dieses Skalarprodukt definierte Norm ist:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Das ist nun tatsächlich das Skalarprodukt auf dem Lebesgue-Raum .
Hier geht es aber um das Skalarprodukt auf dem Folgenraum .
Eine gewisse Ähnlichkeit besteht dabei übrigens; auch wenn die vielleicht nicht sofort ersichtlich ist.
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Es steht in dem Kapitel Hilberträume, mehr gibt's da nun wirklich nicht verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
In deinem Ursprungsbeitrag hast du zumindest noch die Definition von zitieren können.
Irgendwo danach sollte das Skalarprodukt darauf eingeführt worden sein.

Oder habt ihr als auf den natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß eingeführt?
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Wir haben noch die Charakterisierung der Hilbert-Basis eingeführt in meinen Notizen

ist eine Hilbert-Basis

für ist

gilt

Parsevalsche Gleichung

Besselsche Gleichung

Ich weiß einfach nicht mehr weiter.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Besselsche Gleichung? Die wäre?

Das ganze setzt übrigens die Orthonormalität der voraus.
Und das wiederum setzt voraus, dass auf ein Skalarprodukt existiert.

Und du solltest auf jeden Fall in der Lage sein, nachzuschlagen, welches ihr auf benutzt.
Schreib zur Not mal alles auf, was ihr zum gemacht habt.

Solange du aber nicht herausfinden kannst, wie das Skalarprodukt auf definiert ist, hat es keinen Sinn, die Aufgabe weiter zu bearbeiten.
Es dir zu verraten, hat ebenso keinen Sinn, denn simple Recherchearbeit wie diese ist absolute Voraussetzung für jedes Studium. Wenn du damit nicht zurechtkommst, brauchst du gar nicht erst anfangen, irgendwelche Aufgaben zu bearbeiten.


Die andere Möglichkeit wäre, dass ihr tatsächlich kein Skalarprodukt auf definiert habt. Das halte ich aber für weniger wahrscheinlich...
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Was soll ich dazu sagen unglücklich , wenn eine halb zertrampelte Arbeitsbiene auf dem Boden liegt einfach endgültig zertrampeln. Danke für deine Aufmerksamkeit.
Hantel Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal auf Seite 295, mittig. LG.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Che
Hat das eigentlich einen tieferen Sinn, dass du die ganze Zeit statt schreibst? Denn letztere ist doch die übliche Bezeichung für diesen Raum. Nicht dass Nomenklaturfragen irgendwie wichtig wären ...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ:
Die übliche Bezeichnung?
Ich lese das viel öfter als bzw. .
Ein Stichprobenartiges Nachschlagen in Büchern und Artikeln zur Banachraum-Theorie hat ergeben, dass z.B. Day, Schwartz und Singer es als schreiben, während es in allen anderen Quellen als geschrieben wurde.

Vorteile der Tiefstellungen sind, dass man und für die endlichdimensionalen Versionen bzw. Dualräume verwenden kann.

Außerdem scheint der Fragesteller den Raum als zu kennen Augenzwinkern


Edit: Hm, in den allgemeinen Büchern zur Funktionalanalysis wiederum lese ich öfter . Ich schätze, das wird tatsächlich an den oben genannten Vorteilen liegen; die sind in der allgemeinen Theorie noch nicht bedeutsam.
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Also neuer Tag alte Verzweiflung, aber was solls sei der euklidische Vektorraum


Mit dem oh schau Skalarprodukt .

Man kann also zeigen, dass ein Hilbertraum ist. Man muss "nur" setzen und so bekommt man heraus, dass eine Hilbert-Basis in ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Zitat:
Original von Hilbertalbträume
Mit dem oh schau Skalarprodukt .

Na bitte, nun hast du die Definition also.
Jetzt setze darin und ein, d.h. bestimme

und lass dich dabei nicht vom verwirren (obiges ist ein anderes).
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Hm meinst du so?:

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Die übliche Bezeichnung?
Ich lese das viel öfter als bzw. .
Ein Stichprobenartiges Nachschlagen in Büchern und Artikeln zur Banachraum-Theorie hat ergeben, dass z.B. Day, Schwartz und Singer es als schreiben, während es in allen anderen Quellen als geschrieben wurde.


Edit: Hm, in den allgemeinen Büchern zur Funktionalanalysis wiederum lese ich öfter . Ich schätze, das wird tatsächlich an den oben genannten Vorteilen liegen; die sind in der allgemeinen Theorie noch nicht bedeutsam.


Beispiele für die Benutzung von : Werner, "Funktionalanalysis" und natürlich wikipedia, was ich ja schon verlinkt hatte. Seltsam, dass man sich da noch nicht "geeinigt" hat. Na ja, Streit um Kaisers Bart ... Augenzwinkern
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Na ja, Streit um Kaisers Bart ... Augenzwinkern


Vielleicht magst du mir lieber helfen, darfst auch schreiben Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen
Ich weiß jetzt nicht genau, was du eigentlich zeigen willst.

Zitat:
Original von Hilbertalbträume




Das macht auf alle Fälle wenig Sinn. Unter der Summe müssen die Folgenglieder stehen, also



Was kommt da raus?
Hilbertalbträume Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum, Hilbertbasis, Folgen


Was da herauskommt, emm
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt schon wie definiert ist?
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