Funktion stetig, abgeschlossen etc. ? |
| 05.06.2013, 15:57 | BoardMathematik1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Funktion stetig, abgeschlossen etc. ? Sei f die Abbildung I=[-1,1) nach IR Definiert durch Entscheide ohne Begründung was zutrifft: 1) Stetig in I 2) Beschränkt 3) Abgeschlossen 4) Kompakt 5) Nimmt f ihr Minimum auf I an 6) Nimmt f ihr Maximum auf I an Meine Idee 1) Stetig, da mir die Funktion x^2 bekannt ist, wie wäre aber der Beweis. Ist das über epsilon delta Kriterium nur möglich oder gibt es ein Zusammenhang der Stetigkeit mit Inneren Punkten im Intervall und Häufungspunkten oder ähnlichem? Also woran erkenne ich das schnell ohne die Funktion x^2 zu kennen? 2) Sie ist nicht beschränkt, da sie im abgeschlossenem Intervall -1,1 ihre Maximalwerte annimt. Ich komme auf diesen Entschluss jedoch wieder nur, da ich die Funktion kenne. 3) Da sie alle Häufungspunkte besitzt in diesem Intervall ist die Menge von x^2 abgeschlossen. 4)Nicht Kompakt, da nicht beschränkt. 5 und 6) Sie nimmt ihr Minimum an, jedoch wieder nur beurteilt, da ich die Funktion kenne. Mit welchem Satz war es noch einmal möglich zu entscheiden, ob eine Funktion in einem Intervall ihr Min oder Max annimt ? Es wäre super wenn ihr Ideen habt. Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen Mir fällt gerade auf das sie im Intervall beschränkt ist, da sie ihr sup und inf anniimmt. |
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| 05.06.2013, 17:45 | Tom92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, du schreibst, dass du ohne Begründung entscheiden sollst. Dann darfst du dein Wissen über die Funktion natürlich einsetzen, insbesondere die Stetigkeit. Hier geht es eher darum, ob du die verschiedenen Begriffe richtig verstanden hast. ist auf ganz stetig, also auch auf jedem Intervall, egal ob offen, abgeschlossen oder halboffen. Überlege dir, wie das Bild der Funktion aussieht (sollte relativ einfach sein; ich meine nicht den Graphen), dann weißt du sofort, ob die Funktion beschränkt ist. Was meinst du mit "3) abgeschlossen"? Ob das Bild der Funktion abgeschlossen ist? Ist die Aufgabenstellung hier vielleicht noch etwas ausführlicher? Wenn die Abgeschlossenheit des Bilds gemeint ist, solltest du das richtig einschätzen können. 4) kompakt: Hier gelten die gleichen Ausführungen, wie zu 3. Wenn du 2 und 3 mit Ja beantwortest, hat sich 4 sofort erledigt. zu 5) und 6) : Da du die Funktion kennst, kennst du auch das Minimum und Maximum für den angegebenen Definitionsbereich. Min oder Max werden angenommen, wenn du ein angeben kannst, so dass f(x) gleich dem Minimum oder Maximum ist. Kannst du das? Gruß Tom |
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| 05.06.2013, 17:58 | BoardMathematik1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann noch einmal mit Begründung, um zu erkennen, dass ich alles tatsächlich verstanden habe. 1) Sie ist im ganzen Intervall Stetig, da es keine Sprungstelle gibt? 2) Sie ist Beschränkt da ihr Supremum 1 und ihr Infimum 0 ist. 3) Hier wird gefragt ob das I abgeschlossen ist. Da in [-1,1] alle HP enthalten sind, ist die Menge abgeschlossen? Ich bin mir unsicher ob das richtig ist. 4) Sie ist kompakt, da beschränkt + abgeschlossen. Hier bin ich mir aber unsicher wegen der abgeschlossenheit. (Siehe Punkt 3) 5) Sie nimmt ihr Supremum bei 1 an (Maximum) und ihr Infimum bei 0 (Minimum). Kannst du das bitte berichtigen. 
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| 05.06.2013, 18:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Funktion stetig, abgeschlossen etc. ? Du hättest etwas genauer auf die Aufgabenstellung eingehen sollen. Die ist (wie bereits erwähnt) unklar. Ebenso unklar ist, ob der Definitionsbereich nun die Eins enthält oder nicht:
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| 05.06.2013, 18:11 | BoardMathematik1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Funktion stetig, abgeschlossen etc. ?
Oh gott, mir war das nicht aufgefallen. Das Intervall ist abgeschlossen! Mein Fehler! I=[-1,1] Es geht übrigens um die Übung zum folgenden Satz: Eine stetige Funktion auf einem Kompaktum nimmt ihr Maximum und Minimum an. Interessant lese ich gerade erst. |
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| 05.06.2013, 18:52 | Tom92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, zu 1) "keine Sprungstelle": Dies ist natürlich eine zu unmathematische Begründung. Ihr werdet sicher gezeigt haben, dass z. B. stetig ist und dass Produkte von stetigen Funktionen stetig sind (oder irgendetwas in der Richtung). Einmal muss man sauber -Beweise durchgeführt haben (und immer wieder dann, wenn man mit den bisher bewiesenen Regeln nicht weiterkommt). Und auch was mit der Stetigkeit passiert, wenn man den Definitionsbereich einschränkt, muss man sich einmal überlegen. 2) OK. Man muss Supremum und Infimum dafür nicht unbedingt kennen. 3) Es geht also darum, ob das abgeschlossene Intervall abgeschlossen ist (hört sich erstmal wie eine Tautologie an). Das hängt davon ab, wie ihr die Standardtopologie in eingeführt habt (also was offene und abgeschlossene Mengen sind). In der Regel beweist man nach der Definition dann erstmal, dass offene Intervalle offen sind und abgeschlossene Intervalle abgeschlossen. Wenn ihr eine Definition über Häufungspunkte habt und noch nicht bewiesen habt, dass ein abgeschlossenes Intervall nach dieser Definition abgeschlossen ist, dann solltest du noch einmal darüber nachdenken (Beweis). (Zum Verständnis: Das Adjektiv "abgeschlossen" für Intervalle bedeutet, dass die Endpunkte mit enthalten sind. Das ein solches Intervall dann in einer bestimmten Topologie abgeschlossen ist, muss gezeigt werden.) 4) OK 5) OK. Maximum wird auch bei -1 angenommen. Gruß Tom |
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