Differentialgleichung

05.06.2013, 16:33	MrsTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Hey Leute, folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} yy' + 5y - y^{2} = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0) = 4 \end{eqnarray}$ Lösung: $\begin{eqnarray} \frac{(y-3)^{3} }{(y-2)^{2} } = \frac{e^{x} }{4} \end{eqnarray}$ Meine Herangehensweiße: Variablentrennung: $\begin{eqnarray} y\frac{dy}{dx}+5y-y^{2}= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^y \! \frac{y}{y^{2}-5y } \, dy = \int_0^x \! \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^y \! \frac{1}{y-5 } \, dy = \int_0^x \! \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(y-5)=x + ln(c) \end{eqnarray}$ --> Konstante $\begin{eqnarray} y-5=e^{x}+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=e^{x}+c +5 \end{eqnarray}$ --> Meine homogene Lösung Inhomogene Lösung: y = a y' = 0 $\begin{eqnarray} 5a-a^{2}=4 \end{eqnarray}$ Hier kenn ich mich schon nicht mehr aus: Hier hab ich ja zwei Lösungen, einmal 3 und einmal 2. Was mach ich da. Kann mir jmd helfen? lg
05.06.2013, 18:22	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung das geht anders beziehe die 6 auch in die Trennung der Variablen mit ein und nicht als Störglied. Du brauchst hier keine inhomogene Lösung. Ich habe das durchgerechnet und komme auf das Ergebins von Dir.(nur mit Trennung der Variablen) Probier nochmal und schreibe die beiden Integrale mit y und x hier auf. Ich schau dann mal gerne
05.06.2013, 19:10	MrsTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey danke.. stimmb das hätt ich auch sehen können dann komm ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \int_y^4 \! \frac{y}{6+y^{2}-5y } \, dy = \int_x^0 \! \, dx \end{eqnarray}$ nur wie integrier ich das jetzt?? lg
05.06.2013, 19:26	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja bis jetzt richtig Stichwort Partialbruchzerlegung , bekannt? :-)
05.06.2013, 19:51	MrsTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Sekunde..... =)
05.06.2013, 19:54	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist leider falsch, schreib doch mal bitte den Ansatz zur PBZ auf
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05.06.2013, 19:58	MrsTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Da komm ich dann auf: $\begin{eqnarray} 3ln(y-3)-2ln(\frac{y-2}{2})=x \end{eqnarray}$ kann das sein? lg
05.06.2013, 20:01	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
fast aber ohne durch 2 schauh noch mal
05.06.2013, 20:02	MrsTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und wenn ich das ganze e hoch nehme komm ich aufs ergebnis.. yesss danke dir
05.06.2013, 20:03	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
schön alles Gute , bis dann mal wieder gerne der Löwe :-)
05.06.2013, 20:05	MrsTaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
doch schon oder? weil: $\begin{eqnarray} e^{3ln(y-3)-2ln(\frac{x-2}{2}) } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4(y-3)^{3} }{(y-2)^{2} } \end{eqnarray*}$ und dann den 4er auf die andere Seite und fertig lg
05.06.2013, 20:11	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja wenn Du die Anfangsbedingung einsetzt kommt raus: $\begin{eqnarray} c=-2 ln2 \end{eqnarray}$ dann das Ganze in die Gleichung eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} ln \frac{(y-3)^3}{(y-2)^2} =x -ln 4 \end{eqnarray}$ dann das Ganze $\begin{eqnarray} e^{} \end{eqnarray}$ hoch ergibt Dein Ergebnis.

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