Betragsmaximum komplexe Funktion

05.06.2013, 17:22

Tiefseefisch

Betragsmaximum komplexe Funktion

Meine Frage:
Hallo Matheboard,
ich arbeite gerade an einem Beispiel, bei dem das Maximum des Betrags folgender Funktion zu bestimmen ist: $\begin{eqnarray*} f(z)=e^{z^2}, |z|\leq r \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Vorgegangen wäre ich vorerst so:

$\begin{eqnarray*} f(x+iy)=e^{(x+iy)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x+iy)|=e^{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$
Das ist laut Wolfram Alpha der Betrag der Funktion, aber wie kommt man darauf?
$\begin{eqnarray*} |f(x+iy)|=\sqrt{(x^2-y^2)^2+(2xy)^2} \end{eqnarray*}$
Wenn ich dies rechne, komme ich auf
$\begin{eqnarray*} e^{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Nun gut, ich habe mit dem Wolfram Alpha Ergebnis weitergerechnet. Jetzt stelle ich folgende Bedingung auf:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$
und setze ein
$\begin{eqnarray*} e^{x^2-(\sqrt{r^2-x^2})^2}=e^{2x^2-r^2} \end{eqnarray*}$

Da ja laut Maximumsprinzip diese auf dem Rand zu finden sind, setze ich
$\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$

und bekomme somit für y
$\begin{eqnarray*} e^{2x^2-r^2}=e^{r^2} \end{eqnarray*}$

Kann man das so rechnen?

Vielen Dank schonmal =)

05.06.2013, 18:04

Che Netzer

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion

Zitat:

Original von Tiefseefisch
Das ist laut Wolfram Alpha der Betrag der Funktion, aber wie kommt man darauf?

Welche Rolle spielen Real- und Imaginärteil des Exponenten für den Betrag?
Und was ist der Realteil von $\begin{eqnarray*} (x+\mathrm iy)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |f(x+iy)|=\sqrt{(x^2-y^2)^2+(2xy)^2} \end{eqnarray*}$

Was soll das?

Zitat:

Nun gut, ich habe mit dem Wolfram Alpha Ergebnis weitergerechnet. Jetzt stelle ich folgende Bedingung auf:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Lieber $\begin{eqnarray*} y^2=r^2-x^2 \end{eqnarray*}$ . Hier benutzt du übrigens schon das Maximumprinzip.

Zitat:

Da ja laut Maximumsprinzip diese auf dem Rand zu finden sind, setze ich
$\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$

"Diese"?
Jetzt musst du jedenfalls $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2x^2-r^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[-r,r] \end{eqnarray*}$ maximieren.

Zitat:

und bekomme somit für y
$\begin{eqnarray*} e^{2x^2-r^2}=e^{r^2} \end{eqnarray*}$

Von welchem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sprichst du denn nun?

Zitat:

Kann man das so rechnen?

Die Idee ist gut, der Aufschrieb schlecht.

05.06.2013, 18:30

Tiefseefisch

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion

Zitat:

Original von Che Netzer
Welche Rolle spielen Real- und Imaginärteil des Exponenten für den Betrag?
Und was ist der Realteil von $\begin{eqnarray*} (x+\mathrm iy)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} Re(z)=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Im(z)=b \end{eqnarray*}$ .
Jetzt habe ich ausquadriert
$\begin{eqnarray*} {x^2+2xyi-y^2} \end{eqnarray*}$
somit ist
$\begin{eqnarray*} Re((x+\mathrm iy)^2)=x^2-y^2, Im((x+\mathrm iy)^2)=2xy \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Che Netzer
"Diese"?
Jetzt musst du jedenfalls $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2x^2-r^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[-r,r] \end{eqnarray*}$ maximieren.

Ich meinte, dass gilt, dass eine Funktion, wenn sie holomorph auf einem Gebiet G und stetig auf dem Abschluss ist, ihr Betragsmaximum am Rand annimmt.
Wie zeige ich das am besten für $\begin{eqnarray*} x\in[-r,r] \end{eqnarray*}$ ? Beispielhaft Werte einsetzen?

Zitat:

Von welchem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sprichst du denn nun?

Ja, habe mich hier mit der Bezeichnung etwas vergriffen.

Danke für die schnelle Antwort!

05.06.2013, 18:51

Che Netzer

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion

Zitat:

Original von Tiefseefisch
somit ist
$\begin{eqnarray*} Re((x+\mathrm iy)^2)=x^2-y^2, Im((x+\mathrm iy)^2)=2xy \end{eqnarray*}$

Genau.
Siehst du damit, weshalb
$\begin{eqnarray*} \lvert f(z)\rvert=\mathrm e^{x^2-y^2}\,? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie zeige ich das am besten für $\begin{eqnarray*} x\in[-r,r] \end{eqnarray*}$ ? Beispielhaft Werte einsetzen?

Dass $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2x^2-r^2} \end{eqnarray*}$ für betragsmäßig größtes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ am größten wird, sollte man voraussetzen dürfen.

05.06.2013, 19:08

Tiefseefisch

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion

Zitat:

Original von Che Netzer
Genau.
Siehst du damit, weshalb
$\begin{eqnarray*} \lvert f(z)\rvert=\mathrm e^{x^2-y^2}\,? \end{eqnarray*}$

Sry nein ich verstehs nicht ^^ Ich muss doch eben $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x^2-y^2)^2+(2xy)^2} \end{eqnarray*}$ rechnen oder nicht?

05.06.2013, 19:28

Che Netzer

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion
Nein, das wäre der Betrag von $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ .
Du möchtest aber den von $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{z^2} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

05.06.2013, 21:25

Tiefseefisch

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion
Ok denke ich habs verstanden:
$\begin{eqnarray*} e^{(x+iy)^2}=e^{x^2-y^2}*e^{2xyi} \end{eqnarray*}$

Davon der Betrag ergibt:
$\begin{eqnarray*} e^{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |e^{2xyi}|=1 \end{eqnarray*}$ , denn es ändert sich nur der Winkel.

$\begin{eqnarray*} |e^{x^2-y^2}|=e^{x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ gilt auch, hier habe ich ja nur einen Realteil.

kann man so lassen?

05.06.2013, 21:30

Che Netzer

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion
Genau so ist es.

Die letzte Gleichheit gilt, weil die Exponentialfunktion mit reellem Exponenten positiv ist.

05.06.2013, 21:37

Tiefseefisch

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RE: Betragsmaximum komplexe Funktion
super, danke =)

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