Herleitung einer Formel aus einer Reihe von Zahlen

05.06.2013, 18:46

bloodybeginner

Herleitung einer Formel aus einer Reihe von Zahlen

Hallo!

Gegeben ist die folgende Aufgabe: Zur Zeit t = 0 existiert nur eine Zelle. Diese teilt sich zu jedem zeitpunkt t in zwei!

a) Wie viele Zellen gibt es insgesamt

b) Zur zeit t =1 ensteht eine mutante Zelle, diese teilt sich nur jede zweite generation. Wie viele gibt es nun?

a)
Teil a ist leicht:

Sei n(t) die Anzahl der Zellen zum Zeitpunkt t. Also haben wir: n(0) = 1, n(1) = 2, n(2) = 4,....

Die Lösung ist einfach $\begin{eqnarray*} n(t) = 2^t \end{eqnarray*}$

b)
Da bin ich ein wenig verwirrt.

n(0) = 1, n(1) = 2, n(2) = 3 (die erste generation nach der mutation!)
n(3) = 2 + 4 = 6
n(4) = 2 + 8 = 10
n(5) = 4 + 16 = 20 usw...

Ich finde hier keine Formel, die diese Zahlen beschreiben kann :S.

Der zweite Teil, also der die "normalen Zellen" beschreibt, ist ja einfach $\begin{eqnarray*} \frac{2^t}{2} \end{eqnarray*}$ ;

Und die mutierten entwickeln sich ja so: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8 ,8 ... Kann man das in eine Formel packen :S

06.06.2013, 06:26

conlegens

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RE: Herleitung einer Formel aus einer Reihe von Zahlen
a) Wie viele Zellen gibt es insgesamt ?

Es handelt sich um eine geometrische Reihe: 1+2+4+8+...

$\begin{eqnarray*} n(0)*(2^{t+1}-1)/(2-1) \end{eqnarray*}$

06.06.2013, 12:18

bloodybeginner

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RE: Herleitung einer Formel aus einer Reihe von Zahlen
Das stimmt doch gar nicht.

Im Teil a ist es sicher einfach $\begin{eqnarray*} 2^t \end{eqnarray*}$ weil sie sich ja immer in zwei Teilen.

Also 1, 2, 4, 8, 16, 32 , 64 .... Für t=4 ist es also 32, nach deiner Formel würde 31 rauskommen.

Aber mein Problem ist eigentlich teil b)
Hat da jemand eine Idee?

06.06.2013, 12:28

HAL 9000

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Deine Formulierung oben ist gewöhnungsbedürftig - Beispiele:

Zitat:

Original von bloodybeginner
Zur Zeit t = 0 existiert nur eine Zelle. Diese teilt sich zu jedem zeitpunkt t in zwei!

Diese existiert nur im Zeitraum von 0 bis 1 und teilt sich dann. Wie soll sich diese, die danach gar nicht mehr existiert (nur ihre Töchterzellen) denn zu späteren Zeitpunkten noch teilen?

Ok, vermutlich meinst du was in der Art

Zitat:

Zur Zeit t = 0 existiert nur eine Zelle. Zu jedem zeitpunkt t>0 teilt sich jede vorhandene Zelle in zwei.

Und weiter:

Zitat:

Original von bloodybeginner
a) Wie viele Zellen gibt es insgesamt

Insgesamt? Inklusive der geteilten und dann nicht mehr vorhandenen? So hat es conlegens verstanden, nicht inberechtigt angesichts deiner unklaren Formulierung. Gemeint war hier wohl

Zitat:

a) Wie viele Zellen gibt es zum Zeitpunkt t ?

Wobei hier eigentlich auch noch dazugesagt werden müsste: Vor oder nach der Teilung zum Zeitpunkt t - ich nehme an: nach der Teilung.

Das Problem mit dem diese besteht natürlich genauso bei der Formulierung von Teilaufgabe b).

P.S.: Es ist mir übrigens egal, ob die Formulierung von dir oder jemand anderen stammt. Es soll auch keine "Zurechtweisung" sein. sondern lediglich die Sinne schärfen, unklare Formulierungen nicht kritiklos hinzunehmen.

06.06.2013, 12:47

Mathewolf

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RE: Herleitung einer Formel aus einer Reihe von Zahlen

Zitat:

Original von conlegens
a) Wie viele Zellen gibt es insgesamt ?

Es handelt sich um eine geometrische Reihe: 1+2+4+8+...

$\begin{eqnarray*} n(0)*(2^{t+1}-1)/(2-1) \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist leider falsch.

Die nicht mutierte Zelle teilt sich weiter mit dem in (a) gefundenen Wachstumsgesetz mit nur einer kleinen Modifikation, die du ja schon gefunden hast, also

$\begin{eqnarray*} n_1(t)=2^{t-1}\ \mbox{für}\ t>0. \end{eqnarray*}$

Die mutierte Zelle vermehrt sich nach folgendem Gesetz

$\begin{eqnarray*} n_2(t)=\begin{cases}2^{\frac{n-1}2} & \mbox{für}\ n\ \mbox{ungerade}\\<br /> 2^{\frac n2-1} & \mbox{für}\ n\ \mbox{gerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Gesamtzahl n(t) ergibt sich dann aus der Summe aus $\begin{eqnarray*} n_1(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2(t) \end{eqnarray*}$ .

06.06.2013, 12:56

bloodybeginner

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HAL 9000:

Ja, du hast recht, jetzt wo ich deine Einwände lese, wird mir klar, dass ich mich nicht deutlich genug formuliert habe!
Tut mir leid, ich versuche in Zukunft mehr darauf zu achten!

@mathewolf

Vielen Dank, ich gucke mir gleich dein Ergebnis an und rechne es nach. Aber das hört sich schon sehr plausibel an!

06.06.2013, 13:11

bloodybeginner

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Ich habe noch eine Verständnisfrage;

Würden jetzt die mutierten sich nicht mehr teilen, sobald sie zu einem Zeitpunkt t mutieren. Dann wäre doch die Anzahl der Zellen zum Zeitpunkt t:

$\begin{eqnarray*} n(t) = 2* m(t-1) \end{eqnarray*}$ , wobei ich mit m die nicht mutierten Zellen in dem Zeitpunkt davor bezeichne. Weil ja sobald welche mutieren, dann bleiben sie in dem Zeitpunkt quasi "hängen".

Das ist jedoch eine rekursive Formel. Gibt es denn einen besseren Ansatz, wie ich hier rangehen könnte?

06.06.2013, 14:44

Mathewolf

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Du meinst also, wenn die bereits mutierten Zellen zu einem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ erneut mutierten und ihre Fähigkeit, sich zu teilen, gänzlich verlören?
Dann bliebe die Anzahl der mutierten Zellen konstant und die Anzahl der nicht mutierten würde mit dem schon bekannten Wachstumsgesetz steigen. Also, wenn $\begin{eqnarray*} m:=n_2(t_1) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ der erneuten Mutation existierenden Mutierten ist, dann würde für die Gesamtzahl der Zellen gelten

$\begin{eqnarray*} n(t)=m+2^{t-1}\ \mbox{mit}\ t>t_1 \end{eqnarray*}$

In deinem Ansatz lässt du die Anzahl der mutierten Zellen außer Betracht. Die sind aber auch noch vorhanden, vermehren sich nur nicht mehr. Von daher wäre dein obiger, rekursiver Ansatz falsch.

06.06.2013, 18:53

bloodybeginner

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RE: Herleitung einer Formel aus einer Reihe von Zahlen
Oh ja, das stimmt.
Vielen vielen Dank für deine Hilfe

06.06.2013, 20:23

Mathewolf

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Gerne geschehen. smile

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