analytisch fast überall ist überall analytisch

05.06.2013, 19:45

12345678

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analytisch fast überall ist überall analytisch

Meine Frage:
Wir haben eine auf einer offenen Menge U definierte stetige Funktion F, die in die komplexen Zahlen abbildet.
Nun bezeichnen wir mit f, die Einschränkung von F auf U\{endlich viele Punkte}.
f sei analytisch. Zeige, dass F dann analytisch ist.

Meine Ideen:
Analytisch ist ja äquivalent zu holomorph und das bedeutet ja komplex differenzierbar, dies ist ja eine lokale Eigenschaft und da ich wegen Stetigkeit von F keine Sprungstellen habe, sollte dass nichts ausmachen, wenn ich einen Punkt rausnehme in der Umgebung.
Aber das ist natürlich kein Beweis, sondern nur ne vage Vermutung in welche Richtung es geht..

05.06.2013, 20:21

Che Netzer

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RE: analytisch fast überall ist überall analytisch

Zitat:

Original von 12345678
Analytisch ist ja äquivalent zu holomorph und das bedeutet ja komplex differenzierbar, dies ist ja eine lokale Eigenschaft und da ich wegen Stetigkeit von F keine Sprungstellen habe, sollte dass nichts ausmachen, wenn ich einen Punkt rausnehme in der Umgebung.

Das ergibt für mich keinerlei Sinn.

Du kannst aber den Satz von Morera anwenden – zusammen mit einem kleinen Grenzwertprozess.
Habt ihr in der Vorlesung vielleicht das Schwarzsche Spiegelungsprinzip bewiesen? Das hier geht ähnlich.

05.06.2013, 23:59

12345678

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Ist der Satz von Morera der, dass wenn das Kurvenintegral von f über jeden Dreiecksrand in U verschwindet, f schon holomorph ist auf U?

Dann könnte ich mir alle Dreiecke angucken.
Die Dreiecke kann ich beliebig kleiner machen, wenn in so einem Dreieck keiner der in U fehlenden Punkte ist, ist das Kurvenintegral 0. Wenn aber so ein Punkt drin ist, dann kann ich das Dreieck beliebig klein machen um den Punkt herum (indem ich es immer weiter aufteile).
Aber dann komm ich nicht weiter, denn selbst wenn ich das Dreieck sehr klein mache, weiß ich ja noch nicht, ob dann 0 rauskommt beim Kurvenintegral?

Das Spiegelungsprinzip haben wir nicht bewiesen.

Könnte das ganze auch mit Gebietstreue oder Maximum-/Minimumprinzip zu tun haben, denn das sind grad Themen die wir in der Vorlesung behandeln?

06.06.2013, 00:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
Ist der Satz von Morera der, dass wenn das Kurvenintegral von f über jeden Dreiecksrand in U verschwindet, f schon holomorph ist auf U?

Genau.

Zitat:

Die Dreiecke kann ich beliebig kleiner machen, wenn in so einem Dreieck keiner der in U fehlenden Punkte ist, ist das Kurvenintegral 0. Wenn aber so ein Punkt drin ist, dann kann ich das Dreieck beliebig klein machen um den Punkt herum (indem ich es immer weiter aufteile).

Was meinst du denn mit "kleiner machen" und "aufteilen"?
Letzteres hört sich schon ganz gut an.

Zitat:

Könnte das ganze auch mit Gebietstreue oder Maximum-/Minimumprinzip zu tun haben, denn das sind grad Themen die wir in der Vorlesung behandeln?

Ich wüsste nicht, wie man daraus erhalten sollte, dass eine Funktion holomorph ist.

06.06.2013, 00:10

12345678

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Also mit aufteilen meine ich, jedes mögliche Dreieck enthält a priori maximal n Punkte, die nicht in U sind.
Dadurch, dass ich eine Ecke mit der gegenüberliegende Seite verbinde (das geht immer ohne mit der Verbindungslinie einen Punkt der nicht in U ist zu treffen, kann ich iterativ Dreiecke basteln, die nur noch eine Punkt enthalten.
Die kann ich dann wieder analog verkleinern, indem ich eine Ecke mit der gegenüberliegenden Seite verbinde, bspw. so, dass ich knapp an diesem Punkt vorbeikomme, und so kann ich endlich viele beliebig kleine Dreiecke mit Punkt erhalten, und die restlichen Dreiecke enthalten keinen Punkt, somit ist das Kurvenintegral über sie 0 bzgl. f.

06.06.2013, 00:13

Che Netzer

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Ja, du brauchst nur Dreiecke zu betrachten, die (genau) einen dieser Punkte enthalten.
Solche kannst du dann in zwei Dreiecke halbieren, wobei diese "Halbierungslinie" durch den Punkt geht.
Damit musst du nur noch Dreiecke betrachten, bei denen einer der fraglichen Punkt auf einer der Kanten liegt.
Jetzt brauchst du die Stetigkeit und solltest das Dreieck geeignet approximieren.

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06.06.2013, 00:20

12345678

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Aber wenn mein Punkt auf dem Dreieck liegt, dann ist das ja kein geschlossener Weg mehr?
Mir ist nicht klar, mit welchem Ziel ich das Dreieck approximiere, darum weiß ich nicht wie.
Ist mein Ziel es durch Dreiecke zu approximieren, auf deren Kanten kein Punkt fehlt?

06.06.2013, 00:23

Che Netzer

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Doch, der Weg bleibt geschlossen. Wieso sollte er es denn nicht sein?

Die Dreiecke sollst du durch solche Dreiecke approximieren, von denen du weißt, dass das Integral darüber verschwindet.

Jetzt geh ich aber erstmal schlafen...

06.06.2013, 00:37

12345678

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Ich dachte die Wege wären in U\{Punkte}, wenn also einer dieser Punkte auf dem Weg liegt, ist der Weg in dem Punkt ja gar nicht definiert? Also wahrscheinlich hab ich da eine falsche Vorstellung von einem geschlossenen Weg in diesem Raum, aber ist das nicht ein Dreieck, in dem ein Punkt fehlt, weil der Punkt nicht in U\{Punkte} ist?

Ah, ok, dann ist meine Vermutung, dass ich mit einem kleineren Dreieck in meinem Dreieck starte, das zu meinem Dreick ähnlich ist (ähnlich ist wahrscheinlich unnötig, aber ich finds damit anschaulicher) und dann hat das ja einen
größten Abstand zu meinem Dreieck, dann definiere ich mir als nächstes Dreieck wieder ein ähnliches, das das erste enthält, aber immernoch in meinem enthalten ist, es soll den halben größten Abstand von davor haben.
Iterativ erhalte ich so eine Folge von Dreicken, bzgl. derer das Kurvenintegral über f 0 ist.

Aber ist das Kurvenintegral denn "stetig in der Kurve", also wenn die Kurven beliebig nahe zusammenliegen, tun es dann auch die Kurvenintegrale?

Ok, vielen Dank für deine Hilfe schonmal! smile

smile

06.06.2013, 07:29

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
Ich dachte die Wege wären in U\{Punkte}, wenn also einer dieser Punkte auf dem Weg liegt, ist der Weg in dem Punkt ja gar nicht definiert?

Diese Punkte machen nur deshalb Probleme, weil man nicht weiß, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in deren Umgebung holomorph ist.
Die Funktion ist dort aber definiert und stetig.

Zitat:

Aber ist das Kurvenintegral denn "stetig in der Kurve", also wenn die Kurven beliebig nahe zusammenliegen, tun es dann auch die Kurvenintegrale?

Ja, darüber muss man sich im allgemeinen keine Gedanken machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was du mit ähnlichen Dreiecken vorhast, ist mir aber schleierhaft.
Du kannst die Seite, auf der der Punkt liegt, "vom Punkt wegschieben", so dass du ein Dreieck hast, das keine solche Punkt enthält und dessen eine Seite fast die des betrachteten Dreiecks ist.
Meintest du das?

06.06.2013, 10:48

12345678

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ok, danke!
ja so etwas in der Richtung habe ich gemeint:
Ich meinte ich konstruiere mir eine Folge von Dreiecken, die alle in meinem "kritischen" Dreieck liegen, so, dass jedes Folgenglied (Dreieck) um alle vorigen Folgenglieder (Dreiecke) herum liegt, jedoch immer noch in meinem "kritischen" Dreieck liegt, und dass die Folge quasi von innen gegen das "kritische" Dreieck konvergiert.
Läuft aber vermutlich aufs gleiche raus, oder?

06.06.2013, 19:11

Che Netzer

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Ja, das ginge auch.

10.06.2013, 20:41

12345678

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Hallo nochmal! Eine Frage zum Thema noch:
Hab heute mit nem Freund über die Aufgabe geredet und er hatte folgenden Lösungsvorschlag:
Wir betrachten ein beliebiges Dreieck. Wie schon beschrieben, kann man das soweit unterteilen, dass noch maximal ein Prunkt im Dreieck oder auf dessen Rand ist.
Wenn man aber sogar noch vermeiden will, die Stetigkeit des Kurvenintegrals "in der Kurve" zu benutzen, kann man dann auch so vorgehen?:
Man zeigt, der Wert des Kurvenintegrals ist kleiner als jede positive reele Zahl und somit 0.
Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ so eine Zahl. Dann kann ich mein Dreieck hinreichend verkleinern (so dass es den Punkt noch enthält) und das Kurvenintegral abschätzen durch die Länge der Kurve (kann man beliebig klein machen)
mal c = Maximum der Funktion innerhalb oder auf dem Rand des Dreiecks, wobei c für kleiner Dreiecke dann kleiner wird und $\begin{eqnarray*} c < \infty \end{eqnarray*}$ da die Dreiecke mit Rand kompakt sind und f stetig.

Geht das auch?

10.06.2013, 20:45

Che Netzer

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Ja, das ginge auch.
Wobei das "verkleinern" der Dreiecke noch etwas präzisiert werden sollte.
Und für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist nur wichtig, dass es nach oben beschränkt ist, kleiner braucht es nicht unbedingt zu werden.

Und wozu hast du dir eigentlich ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gewählt? Big Laugh

Big Laugh

10.06.2013, 20:53

12345678

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danke!
oh, stimmt, wollt eigentlich sagen, dass mein Integral kleiner $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wird, aber habs dann irgendwie vergessen so hinzuschreiben Hammer

Hammer

10.06.2013, 21:59

Tom92

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Hallo 12345678,

ich hätte noch eine Anmerkung hierzu. Für mich sieht der Satz von Morera ein bisschen aus, wie mit Kanonen auf Spatzen schießen. Die Funktion ist doch schon fast überall holomorph. Wie wäre es mit folgendem:

Es sind nur endlich viele Punkte, also reicht es das gewünschte für einen Punkt zu zeigen. Nennen wir ihn $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ und nehmen eine offene $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , die ganz in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt. f ist dann stetig auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und holomorph auf $\begin{eqnarray*} V\backslash{\{z_0}\} \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(z)=(z-z_0)f(z) \end{eqnarray*}$ .

Was folgt dann aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to z_0}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0} \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ damit auf ganz $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ? (Rhetorische Fragen)

Damit ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in eine Potenzreihe entwickelbar. Schreibe dir die Reihe hin, verwende den Wert von $\begin{eqnarray*} g(z_0) \end{eqnarray*}$ und folgere etwas für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ daraus. Dann bist du fertig.

Habe ich jetzt schon zuviel von der Beweisidee verraten?

Gruß Tom

12.06.2013, 16:39

12345678

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Hallo!
Danke für deine Beweisidee, werde mich am Wochenende hinsetzen und sie durchdenken und dann nochmal schreiben, ob ichs rausbekomm. Vorher schaff ichs leider nicht

19.06.2013, 21:42

12345678

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Hallo!
Sorry dass es solange gedauert hat, aber ich hatte viel zu tun die letzten beiden Wochen.

So, zu deinen Fragen mal meine Antworten (bzw. Vermutungen):
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0} < \infty \end{eqnarray*}$ wegen Stetigkeit von f.
Somit ist g holomorph auf ganz V und somit analytisch.
Jetzt soll ich g ja als Potenzreihe entwickeln, bin mir nicht sicher um welchen Punkt, aber ich probier es mal mit $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} 0=(z_0-z_0)\cdot f(z) =g(z_0)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(z_0-z_0)^n= c_0 \end{eqnarray*}$
Also

$\begin{eqnarray*} (z-z_0)\cdot f(z)=g(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n(z-z_0)^n \iff f(z)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n(z-z_0)^{n-1}<br /> \overset{Indexshift}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n+1}(z-z_0)^n \end{eqnarray*}$ .
Somit haben wir f auch in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ als Potenzreihe geschrieben, also ist f auf ganz V analytisch.
Ist das so richtig?

19.06.2013, 21:56

12345678

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Wobei mir bei der Argumentation die Richtigkeit meiner Behauptung, dass aus der Stetigkeit von f folgt, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \rightarrow z_0 }\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0} < \infty \end{eqnarray*}$ , -sofern diese Behauptung überhaupt stimmt- nicht klar ist.

20.06.2013, 20:24

Tom92

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Hi,

warum bist du so unsicher mit dem Limes. Du schreibst doch selber $\begin{eqnarray*} g(z_0)=0 \end{eqnarray*}$ und damit gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{g(z)}{z-z_0} = \lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = F(z_0) \end{eqnarray*}$

Der Rest ist richtig (bis auf den fehlenden Koeffizienten in der ersten Reihe).

(Wenn man ganz streng ist, würde man noch ein Argument dafür erwarten, dass die Reihe für f ebenfalls konvergiert. Das ist aber trivial)

20.06.2013, 22:09

12345678

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ah, ok!!
Vielen Dank! smile

smile

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