Ist die Folge der Funktionswerte einer Cauchy-Folge auch eine Cauchy-Folge?

05.06.2013, 19:47

Toasten47

Ist die Folge der Funktionswerte einer Cauchy-Folge auch eine Cauchy-Folge?

Meine Frage:
Hallo,

ich habe zwei metrische Räume $\begin{eqnarray*} (X,d_X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Y,d_Y) \end{eqnarray*}$ sowie eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset X \end{eqnarray*}$ und eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} f : M\to Y \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge. Ist dann auch $\begin{eqnarray*} (f(x_k))_{k\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge?

Meine Ideen:
Ich bin mir ziemlich sicher, dass dem nicht so ist. Wir haben die Stetigkeit einer Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ so definiert, dass für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_k\to x_0 \in M \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(x_k)\to f(x_0)\in Y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nun stetig, dann hilft uns das generell nicht weiter, da nicht jede Cauchy-Folge auch konvergent sein muss. Somit wissen wir in diesem Fall nicht ob auch die Funktionswerte konvergieren ...

Am besten wäre wohl ein Gegenbeispiel. Ich weiß aber nicht, wie ich mir das am besten konstruieren kann. Hat jemand eine Idee?

05.06.2013, 19:54

TobiSemseg

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Man braucht eine gleichmäßig stetige Funktion f, das Epsilon darf nicht von x_0 abhängen

05.06.2013, 19:55

TobiSemseg

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wähle zb f(x)=1/x , M=(0,1) und die Folge 1/n

05.06.2013, 21:43

Toasten47

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Zitat:

Original von TobiSemseg
wähle zb f(x)=1/x , M=(0,1) und die Folge 1/n

Vielen Dank für deine Antwort. Dein Beispiel hilft mir leider nicht weiter. Zwar konvergiert 1/x gegen 0 und f(1/x) divergiert, jedoch liegt der Grenzwert der Folge nicht mehr in deinem M.

05.06.2013, 22:50

TobiSemseg

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Wer spricht denn hier von Konvergenz? Es geht um Cauchyfolgen: $\begin{eqnarray*} <br /> \forall \epsilon >0\exists N:|a_{n}-a_{m}|< \epsilon \ \forall n,m\geq N \end{eqnarray*}$
Konkret für das Gegenbeispiel: Für m>n, Epsilon > 0 beliebig und N > 1/Epsilon gilt: $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n} -\frac{1}{m} | \leq |\frac{m}{nm} |=\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \epsilon \end{eqnarray*}$ und für f(1/n) : setze zB Epsilon = 0.5 , N beliebig und setze n = N+1 , m = n+1 :
$\begin{eqnarray*} |m - n| = 1 > \epsilon \end{eqnarray*}$

06.06.2013, 20:39

Toasten47

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Du hast recht, ich bin ein wenig mit der Definition der Stetigkeit durcheinander gekommen. Vielen Dank.

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