Differentialgleichungssystem unlösbar

05.06.2013, 20:49

Freddie

Differentialgleichungssystem unlösbar

Ich habe das DIfferentialgleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 1 & 0\\ 0 & a & 1\\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu lösen, aber irgendwie kriege ich nur einen Eigenvektor raus. Das heißt ich kann die Gleichungen nicht entkoppeln.

Deshalb habe ich versucht ineinander einzusetzen und erhalte eine neue Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} x'''-3ax''+3a^2x'-a^3x=0 \end{eqnarray*}$

die aber händisch kaum lösbar ist.
So langsam verzweifle ich und bitte deshalb um einen Rat von euch Profis.

05.06.2013, 22:06

Kasen75

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Hallo Freddie,

ich bin einen anderen Weg gegangen. Ich habe die Differentialgleichungen sukkzessiv gelöst.

Erst habe ich die diese DGL $\begin{eqnarray*} z'=a \cdot z \end{eqnarray*}$ gelöst. Die Lösung habe ich dann dazu verwand, um $\begin{eqnarray*} y'=a \cdot y + z \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Zum Schlusss dann doch diese DGL $\begin{eqnarray*} x'=ax+y \end{eqnarray*}$ gelöst. Auch hier ist wiederum der Ausdruck für y schon bekannt.

Grüße.

05.06.2013, 22:11

Che Netzer

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RE: Differentialgleichungssystem unlösbar

Zitat:

Original von Freddie
zu lösen, aber irgendwie kriege ich nur einen Eigenvektor raus. Das heißt ich kann die Gleichungen nicht entkoppeln.

Hier könntest du noch Hauptvektoren benutzen.

Zitat:

Deshalb habe ich versucht ineinander einzusetzen und erhalte eine neue Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} x'''-3ax''+3a^2x'-a^3x=0 \end{eqnarray*}$

die aber händisch kaum lösbar ist.

Die ist doch ganz wunderbar mit dem Exponentialansatz zu lösen geschockt

05.06.2013, 22:52

Freddie

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@Kazen: Wenn ich die letzte Gleichung berechne dann kriege ich als Lösung

z = e^(a*t) * C

Wenn ich das in die zweite Gleichung einsetze dann erhalte ich eine Differentialgleichung die so aussieht:

y' - a*y = e^(a*t)
Das Problem ist, dass das a einmal im exponenten steht und einmal nicht, darf ich da einfach die homogene lösung berechnen durch 0 setzen?

05.06.2013, 22:59

HAL 9000

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Etwas mehr Systematik:

Ein DGL-Systen mit so einer Jordanblock-Koeffizientenmatrix, d.h.

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = A\cdot x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 & \hdots & 0 & 0\\ 0 & a & 1 & \hdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \hdots & a & 1\\ 0 & 0 & 0 & \hdots & 0 & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

geht durch Substitution $\begin{eqnarray*} x = e^{at}u \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} \dot{x} = ae^{at}u + e^{at}\dot{u} \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} \dot{u} = (A-aE)\cdot u \end{eqnarray*}$ mit der dann ja nilpotenten Matrix $\begin{eqnarray*} A-aE = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \hdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \hdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \hdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \hdots & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

über, was ja dann Komponente für Komponente, von unten aufrollend gelöst werden kann durch Polynome aufsteigenden Grades in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

05.06.2013, 23:08

Kasen75

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Zitat:

Original von Freddie
y' - a*y = e^(a*t)
Das Problem ist, dass das a einmal im exponenten steht und einmal nicht, darf ich da einfach die homogene lösung berechnen durch 0 setzen?

Hier fehlt noch die Konstante.

$\begin{eqnarray*} y' - a*y = C_3 \cdot e^{a\cdot t} \end{eqnarray*}$

Ansonsten kannst du die homogene Lösung ermitteln, indem du $\begin{eqnarray*} C_3 \cdot e^{a*t} \end{eqnarray*}$ gleich 0 setzt.

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