Reelle/komplexe Differenzierbarkeit

05.06.2013, 21:51

Matheversteher

Reelle/komplexe Differenzierbarkeit

Hallo alle zusammen Wink

,

ich habe ein Verständnisproblem bzgl. der komplexen Diferenzierbarkeit bzw der reellen Differenzierbarkeit.

Vorab, wenn ich das richtig verstanden habe ist eine komplexe Funktion nur komplex differenzierbar, wenn sie auch reell differenzierbar ist. Außerdem heißt die Funktion holomorph, wenn sie auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist. (ISt das soweit korrekt?!)

So nun habe ich folgendes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x+iy)=xy+ixy = u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u:=xy \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v:=xy \end{eqnarray*}$

Mit den CRD-Gleichungen folgt:

(i) $\begin{eqnarray*} u_x=v_y \end{eqnarray*}$ und (ii) $\begin{eqnarray*} v_x=-u_y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ (i) $\begin{eqnarray*} y=x \leftrightarrow 0=x=y \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} y=-x \leftrightarrow 0=x=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ f(z) ist in (0,0)=0 komplex differenzierbar.

Die Ableitung müsste nun:
$\begin{eqnarray*} f'(0)= u_x(0) + iv_x(0)=0 \end{eqnarray*}$
Frage: warum benutze ich hier die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} u_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_x \end{eqnarray*}$ , das wird mir nicht so richtig klar?
Die Funktion ist reell defferenzierbar, weil sowohl $\begin{eqnarray*} u:=xy \end{eqnarray*}$ wie auch $\begin{eqnarray*} v:=xy \end{eqnarray*}$ reell differenzierbar sind?! Ist das richtig?

Ich hoffe mir kann hier jemand helfen. smile

05.06.2013, 22:02

Che Netzer

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RE: Reelle/komplexe Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Matheversteher
Vorab, wenn ich das richtig verstanden habe ist eine komplexe Funktion nur komplex differenzierbar, wenn sie auch reell differenzierbar ist. Außerdem heißt die Funktion holomorph, wenn sie auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist. (ISt das soweit korrekt?!)

Eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion hieße ganze Funktion, "holomorph" steht einfach für "komplex differenzierbar" (auf dem Definitionsbereich).

Zitat:

Frage: warum benutze ich hier die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} u_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_x \end{eqnarray*}$ , das wird mir nicht so richtig klar?

Fragst du, wieso die Cauchy-Riemann-Gleichungen gelten oder wie du $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ aus diesen partiellen Ableitungen erhältst?
Letzteres ist wegen
$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}\right) \end{eqnarray*}$
der Fall.
Wende das mal auf $\begin{eqnarray*} u+\mathrm iv \end{eqnarray*}$ an und du wirst $\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}(u+\mathrm iv)=u_x+\mathrm iv_x \end{eqnarray*}$ feststellen.

Zitat:

Die Funktion ist reell defferenzierbar, weil sowohl $\begin{eqnarray*} u:=xy \end{eqnarray*}$ wie auch $\begin{eqnarray*} v:=xy \end{eqnarray*}$ reell differenzierbar sind?! Ist das richtig?

Ja, die reelle Differenzierbarkeit ist klar.

05.06.2013, 23:07

Leopold

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RE: Reelle/komplexe Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Che Netzer
Eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion hieße ganze Funktion, "holomorph" steht einfach für "komplex differenzierbar" (auf dem Definitionsbereich).

Das ist etwas mißverständlich formuliert. Holomorphie und komplexe Differenzierbarkeit sind nur über offenen Mengen dasselbe. Ansonsten kann eine Funktion durchaus in einzelnen Punkten komplex differenzierbar sein, ohne daß sie holomorph ist. Beispiel: Für $\begin{eqnarray*} f(z) = |z|^2 = z \overline{z} , z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , wie man sofort mit dem Differenzenquotienten sieht. Das war's aber auch schon. Dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht holomorph, auch nicht in $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ . (Definitionsgemäß ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , wenn es in einer ganzen Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist.)

07.06.2013, 15:06

Matheversteher

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Hallo ihr beiden smile

erstmal vielen Dank für eure Hilfe. Freude

Zitat:

Zitat
[...] wie du aus diesen partiellen Ableitungen erhältst?
Letzteres ist wegen
$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}\right) \end{eqnarray*}$
der Fall.

Ja genau, das was meine Frage. Also das gilt immer?

Zur Holomorphie:
Also so ganz ist mir das nicht klar. Was ist mit "Umgebung" gemeint?

07.06.2013, 15:34

Che Netzer

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Zitat:

Original von Matheversteher
Ja genau, das was meine Frage. Also das gilt immer?

Überprüf es am besten selbst, indem du $\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}f \end{eqnarray*}$ ausmultiplizierst und die Cauchy-Riemann-Gleichungen voraussetzt.

Zitat:

Also so ganz ist mir das nicht klar. Was ist mit "Umgebung" gemeint?

Eine (offene) Umgebung eines Punktes ist eine offene Menge, die diesen Punkt enthält.
Wenn dir das nicht gefällt, belass es bei "Eine Funktion heißt holomorph, wenn sie (auf ihrem gesamten Definitionsbereich) komplex differenzierbar ist".

07.06.2013, 17:13

Matheversteher

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Ok, ich versuche es mal. Die Funktion war: $\begin{eqnarray*} f(x+iy)=xy+ixy = u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \frac\partial{\partial x}=y+iy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \frac\partial{\partial y}=x+ix \end{eqnarray*}$
Es folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( y+iy+x+\frac{x}{i} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{i} \end{eqnarray*}$

So und nun? Jetzt bin ich mir nicht sicher, was ich nun mache. Denn das ist ja offensichtlich noch nicht meine Ableitung.

Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}(u+\mathrm iv)=u_x+\mathrm iv_x \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch verwirrt

Ich habe es jetzt so verstanden, dass ich sowohl f(z) erst nach "x" ableite und anschließend noch einmal nach "y".

07.06.2013, 17:19

Che Netzer

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Zitat:

Original von Matheversteher
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \frac\partial{\partial x}=y+iy \end{eqnarray*}$

Links steht ein Ableitungsoperator, rechts eine Funktion.

Zitat:

Es folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( y+iy+x+\frac{x}{i} \right) \end{eqnarray*}$

Ein Term folgt nicht.

Du solltest nur
$\begin{eqnarray*} \frac12\left(\frac\partial{\partial x}+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}\right)(u+\mathrm iv) \end{eqnarray*}$
ausmultiplizieren.
Ganz allgemein, nicht für $\begin{eqnarray*} u=v=xy \end{eqnarray*}$ .

07.06.2013, 18:45

Matheversteher

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Ich glaube mein gesammter letzter Post war mist Hammer

Ich versuche es nochmal:
Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}(u+\mathrm iv)=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}\right)(u+\mathrm iv)=u_x+\mathrm iv_x \end{eqnarray*}$

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}(u+\mathrm iv)=\frac12\left(\frac\partial{\partial x}+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}\right)(u+\mathrm iv) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac12\left(\frac\partial{\partial x}u+\frac\partial{\partial x}iv+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}u+\frac1{\mathrm i}\frac\partial{\partial y}iv\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac12\left(\frac\partial{\partial x}u+\frac\partial{\partial x}iv-\mathrm i\frac\partial{\partial y}u+\frac\partial{\partial y}v\right) \end{eqnarray*}$

Mhhh... und jetzt komme ich nicht weiter verwirrt

Was mache ich denn jetzt? mich stört das
$\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ zu Begin und die Ableitungsooperatoren. Was leite ich denn nach x bzw y ab?

Aus dem Bauch heraus, hätte ich jetzt f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ,wobei z=x+iy, abgeleitet.
Ich hoffe du hast noch weiter Geduld mit mir.

07.06.2013, 19:11

Che Netzer

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Bisher stimmt alles.
Jetzt verwende die Cauchy-Riemann-Gleichungen.

08.06.2013, 13:22

Matheversteher

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Diese Gleichungen sollen jetzt verwendet werden?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} & \qquad \\ \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} & \qquad \end{eqnarray*}$

Ist
$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial x}u \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} \frac{\partial u}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ?

Denn dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} =\frac12\left(\frac\partial{\partial x}u+\frac\partial{\partial y}v+\frac\partial{\partial x}iv-\mathrm i\frac\partial{\partial y}u\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac12\left(\frac\partial{\partial x}u+\frac\partial{\partial x}u+\frac\partial{\partial x}iv-\left(-\mathrm i\frac\partial{\partial x}v\right)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac12\cdot2\left(\frac\partial{\partial x}u+\frac\partial{\partial x}iv\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac\partial{\partial x}u+\frac\partial{\partial x}iv \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac\partial{\partial x}(u+\mathrm iv) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =u_x+\mathrm iv_x \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? verwirrt

08.06.2013, 13:44

Che Netzer

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Sieht gut aus.

08.06.2013, 14:43

Matheversteher

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Super danke dir smile

Jetzt sitze ich an der folgenden Funktion und soll schauen ob sie reell/komplex differenzierbar ist.
$\begin{eqnarray*} f(z)=Im (z) \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} f(z)=Im (z)=y= iv(x,y) \end{eqnarray*}$

Relle Differenzierbarkeit:
y ist reell Differenzierbar.

Komplexe Differenzierbarkeit:
$\begin{eqnarray*} v_y=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_x=0 \end{eqnarray*}$ . Meine Frage hier, ich habe hier keine Funktion u(x,y) somit ist Im(z) auch nicht komplex Differenzierbar?! Oder ist $\begin{eqnarray*} u_x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_y=0 \end{eqnarray*}$ ? Würde auf das gleiche hinauslaufen, da $\begin{eqnarray*} u_x\neq v_y \end{eqnarray*}$ .

08.06.2013, 14:46

Che Netzer

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Du hast durchaus ein $\begin{eqnarray*} u(x,y) \end{eqnarray*}$ , nämlich die Nullfunktion.

Also nein, die Funktion ist tatsächlich nirgends komplex differenzierbar.

08.06.2013, 15:09

Matheversteher

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Super! Danke dir, fürs erste sind dann alle Fragen geklärt smile

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