Glühbirnentest-Problem

25.02.2007, 18:58

The Bearclaw

Glühbirnentest-Problem

Hallo,

ich habe hier ein Verständnisproblem zu einer Glühbirnenaufgabe (lässt sich auch allgem. für ähnlich andere Aufgabentypen benutzen). Ich schreib erstmal die Aufgabe rein:

"Aus einer Sendung von 50 Glühbrinen, von denen 5 defekt sind, werden zufällig 3 Glühbirnen ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgenden Ereignisse:

a.) Keine der drei ausgewählten Glühbirnen ist defekt.
b.) Genau eine der drei ausgewählten Glühbirnen ist defekt
c.) Mindestens eine der drei ausgewählten Glühbirnen ist defekt"

a. und b. sind soweit kein Problem für mich: Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen und mit Hilfe von Merkmalsträgern

Bei c. habe ich gedacht, ich könnte es so machen (ist scheinbar jedoch falsch):

E3: min. eine der 3 ausgewählten Glühbirnen ist defekt

$\begin{eqnarray*} P(E_3)=\frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 45 \\ 2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix}} + \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 45 \\ 1 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix}} + \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 45 \\ 0 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix}} \approx 0,092 \triangleq 9,2% \end{eqnarray*}$

Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man das richtig macht? (Bitte mit Erklärung!)
Thx!

25.02.2007, 19:01

tigerbine

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RE: Glühbirnentest-Problem
Warum soll das falsch sein? Du hättest auch mit Teil a) rechnen können:

p(c) = 1 -p(a)

Da es sich um das Gegenereignis handelt.

25.02.2007, 19:48

The Bearclaw

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Hm.. stimmt, ich hätte es mit dem Gegenereignis rechnen sollen. Wäre einfacher gewesen...

Zitat:

Warum soll das falsch sein?

Bei dieser Rechnung käme dann auch nicht 9,2%, sondern wie i.d. Lsg ca. 27,6%

$\begin{eqnarray*} P(E_1)\approx 0,7239 \triangleq 72,39% \Rightarrow P(E_3)=1-P(E_1)\approx 1-0,7239=0,2761\triangleq 27,61% \end{eqnarray*}$

Hm... kann mir jemand man diese Skizze erklären (ist zur Aufgabe c.))

2 Glühbrinen defekt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 47 \\ 9 \end{pmatrix} = 3*16215=48645 \end{eqnarray*}$

3 Glühbirnen defekt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 47 \\ 2 \end{pmatrix} = 1*1081=1081 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(E_3)=\frac{535095+48645+1081}{2118760} =\frac{584821}{2118760} \approx 0,27602 \triangleq 27,6% \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht, wie man auf diese Zahlen kommt... (entstammen aus der offz. Skizze vom Lehrer, mehr steht nicht drin)

25.02.2007, 20:10

tigerbine

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Ok, rechnen wir es einmal der Reihe nach durch:

$\begin{eqnarray*} P(X = 0) = \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 45 \\ 3 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix}} \approx 0.724 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X = 1) = \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 45 \\ 2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix}} \approx 0.253 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X = 2) = \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 45 \\ 1 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix}} \approx 0.023 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X = 3) = \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 45 \\ 0 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix}} \approx 0 \end{eqnarray*}$

Die Summe ergibt 1, also sind beide Rechenwege richtig. du musst dich verrechnet haben.

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