implizite Funktion auflösen

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Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »
implizite Funktion auflösen
Hallo,

ich habe folgende Funktion zu untersuchen:



Die dürfte doch folgende Jacobi-Matrix haben:



Jetzt die konkrete Aufgabe: Man soll die Existenz einer nahe (1,Pi) definierten Funktion z=z(x,y) mit z(1,Pi)=Pi/2, die die Gleichung F(x,y,z(x,y))=0 löst, beweisen.

Meine Frage: Damit es so ein z gibt, muss doch die 2. Teilmatrix der Jacobi-Matrix von oben invertierbar sein, also die 1x1 Matrix ( cos(z) ). Diese ist gerade für alle z invertierbar, die keine ganzzahligen Vielfachen von Pi/2 sind. Wie kann dann ein z gesucht werden, das den Wert Pi/2 annimmt?

Ich vermute, dass sich ein Fehler eingeschlichen haben muss, denn das Tripel (1,Pi,Pi/2) würde F(x,y,z)=0 lösen

(Ich weiß übrigens auch, dass man hier (trivial) nach z umformen könnte mit z(x,y)=-arcsin(x^4+2xcos(y)) wobei z(1,Pi)=Pi/2 wäre)

Danke schonmal smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: implizite Funktion auflösen
Zitat:
Original von Derive13
Meine Frage: Damit es so ein z gibt, muss doch die 2. Teilmatrix der Jacobi-Matrix von oben invertierbar sein, also die 1x1 Matrix ( cos(z) ). Diese ist gerade für alle z invertierbar, die keine ganzzahligen Vielfachen von Pi/2 sind. Wie kann dann ein z gesucht werden, das den Wert Pi/2 annimmt?

Ich vermute, dass sich ein Fehler eingeschlichen haben muss, [...]

Könnte der Fehler sein, dass cos(z) genau für alle ungeradzahligen Vielfachen von nicht invertierbar ist? verwirrt
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, das stimmt. Aber Pi/2=1* Pi/2. Für z= Pi/2 ist cos(z) nicht invertierbar.

Meine Überlegung war bisher:

(1,Pi/Pi/2) löst F(x,y,z)=0. Wäre in diesem Punkt invertierbar, gäbe es gerade ein z(x,y) nahe (1,Pi) mit z(1,Pi)=Pi/2.

Es gibt auch noch andere Lösungstripel (0,0,0 z.B.), so dass cos(z) invertierbar wäre, aber geht mir dann nicht z(1,Pi)=Pi/2 verloren??
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich bin leider in Fragen dieser Art jetzt auch nicht so sattelfest, aber möglicherweise liegt das Problem darin, dass man einer Funktion z(x,y), welche F(x,y,z)=0 erfüllt, zwar für den Wert zuordnen könnte, aber es gäbe dann in jeder Umgebung von Punkte, für welche z(x,y) nicht definiert wäre, da für sie wäre...
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm aber dieses z soll sogar unendlich oft differenzierbar sein. Das heißt in einer Umgebung von (1,Pi) müsste z doch wenigstens definiert, wenn nicht sogar stetig sein??
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie verstehe ich dein Problem möglicherweise nicht ganz... Wir haben doch für , dass cos z=0, also nicht invertierbar ist... Andererseits gilt



d.h., man könnte etwa für dann etwa nehmen, aber es gibt, nach dem was ich im letzten Posting geschrieben habe, keine Umgebung von , sodass ein z=f(x,y) dort überall definiert wäre und die Gleichung F(x,y,f(x,y))=0 erfüllt... Ich seh da jetzt keinen Widerspruch zum Hauptsatz über implizite Funktionen oder was meinst du? verwirrt
 
 
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich denn damit auch und in (1,Pi) berechnen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Derive13
Kann ich denn damit auch und in (1,Pi) berechnen?

Sicher nicht, denn aufgrund Kettenregel würde ja jedenfalls gelten



und beide Gleichungen führen für auf einen klaren Widerspruch...
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ist entweder die Aufgabe falsch (die explizit nach den Werten der Ableitungen fragt) oder ich hab was falsch gemacht.

Mein Verständnisproblem ist das folgende:

Den Satz über implizite Funktionen kenne ich z.B. in dieser Variante:

Wenn (a,b) die Gleichung F(x,y)=0 löst und die partielle Ableitung nach y in (a,b) invertierbar ist, dann gibt es eine Umgebung von (a,b) und eine Funktion g mit g(a)=b und F(x,g(x))=0.

Also hier: a=(1,Pi) b=Pi/2, löst F(x,y,z)=0, jedoch ist dF/dz nicht invertierbar in (1,Pi) also kann ich den Satz nicht anwenden. Das ist mein Problem.

Ich soll aber genau zeigen, dass es eine solche Funktion (hier z(x,y)) existiert und deren partielle Ableitungen nach x bzw. y in (1,Pi) auswerten.

Außerdem sehe ich auch noch nicht, warum es nicht mal ein winzige Umgebung von (1,Pi) geben kann, so dass NICHT greift.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals: Wenn in existiert, muss es jedenfalls die Bedingung

=0

erfüllen... Wenn man hier aber einsetzt, erhält man den Widerspruch 2=0, d.h., diese Ableitung existiert nicht (da fährt die Eisenbahn drüber!)...

Anders ist es allerdings mit der anderen partiellen Ableitung in , entgegen meiner ursprünglichen Aussage... Hier müsste

=0

also nach Einsetzen 0=0 gelten, was ja durchaus möglich ist... Wenn diese Ableitung existiert, dann kann das aber nur partielle Ableitung von



nach y sein an besagter Stelle sein... Diese müsste man dann also so ermitteln...

Was die Ungleichung



in der "Nähe" von betrifft, so brauchst du ja nur z.B. betrachten und für ein und du siehst, dass hier (bei "kleinem" ) jedenfalls dann auch Werte <-1 dabei sind (lass dir die Differenz zu -1 am besten von einem CAS plotten!)... Aber für die partiellen Ableitungen braucht man ja auch nur eine Folge von Punkten, die zur Gänze im Definitionsbereich von z(x,y) liegt und man muss sich über diese Folge an "heranpirschen".. Das ist natürlich hier schon möglich, auch wenn man nicht, wie sonst üblich, sich diesem Punkt "beliebig" nähern kann...

Edit: Im Grunde kommen, wie ich jetzt sagen würde, alle "Probleme" eigentlich nur daher, dass der Punkt am "Rande" des Definitionsbereichs von z(x,y) liegt... Solange man aber im Definitionsbereich bleibt - insbesondere bei der Wahl von Punktfolgen (s.o.) - kann eigentlich nichts passieren... Augenzwinkern
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal bis hier für all die Mühen!

Ich hab nach y abgeleitet und komme auf

(x,y)=

für (1,Pi) existiert der Wert der Ableitung nicht.

Also zusammenfassend: z(x,y) existiert, die partiellen Ableitungen nach x bzw. y in (1,Pi) jedoch beide nicht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Derive13
Ich hab nach y abgeleitet und komme auf

(x,y)=

für (1,Pi) existiert der Wert der Ableitung nicht.

Versteh ich ehrlich gesagt nicht... Woraus schließt du das? verwirrt

PS: Du wirst doch jetzt so knapp vor dem Ziel nicht schlapp machen? Big Laugh
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Setze ich für (x,y) (1,Pi) ein habe ich doch im Nenner

sqrt( 1 - (1 + 2 cos(Pi))^2)=0, also Division durch 0. oder nicht. Oder meintest du was anderes??

Oder muss ich den Grenzwert (x,y) --> (1,Pi) untersuchen?? Also für die Ableitung
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Also setzen wir erstmal nur x=1 ein, dann ergibt sich (mit )



Jetzt bist wieder du am Zug, wie geht es hier weiter? Augenzwinkern
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

= == sqrt(2)

Richtig?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, allerdings ergibt sich die letzte Gleichheit erst, wenn man dann auch noch y = einsetzt...
Derive13 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, hätte ich dazu schreiben können smile

Wunderbar, hätten wir das ja gelöst!

Vielen, vielen Dank!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen... Augenzwinkern Ich hoffe, das war vom Aufgabensteller auch alles so gemeint... Wink
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