absolute Konvergenz -> gleichmäßige Konvergenz?

06.06.2013, 10:28	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
absolute Konvergenz -> gleichmäßige Konvergenz? Moin, unser Übunggruppenleiter hat heute gesagt: "absolute konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz". Ich kann das aber weder im Otto forster noch bei uns im Skript finden. Folgt dass aus einem Satz? Gruß Nickel
06.06.2013, 11:01	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Sonst gab es keine weitere Voraussetzung? Falls ich überhaupt richtig verstehe, was gemeint ist(denn für mich sind glm. konvergenz und absolute Konvergenz zwei Begriffe, die nicht genau in die gleiche Kategorie passen), dann ist die Aussage falsch. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray} \sum_{n\in\mathbb N} x^n \end{eqnarray}$ absolut konvergent für alle $\begin{eqnarray} x\in (-1,1) \end{eqnarray}$ . Sie ist aber nicht glm. konvergent auf $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$
06.06.2013, 12:01	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bins nochmal (vielleicht kann das ein Mod zusammenfügen): Falls dein Übungsleiter tatsächlich das hier meint: Seien $\begin{eqnarray} f_n: D \to \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dann: $\begin{eqnarray} \sum_{n\in\mathbb{N}} f_n(x) \end{eqnarray}$ absolut konvergent für alle $\begin{eqnarray} x\in D \end{eqnarray}$ impliziert gleichmäßig konvergent auf $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ , so habe ich mir gerade ein Beispiel überlegt, das zeigt, dass diese Aussage nicht mal dann gilt, wenn alle $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ stetig sind und $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ kompakt ist. (Was ansich schon eine sehr starke Voraussetzung ist) Betrachte dafür: $\begin{eqnarray} g_0:[0, 1] \to \mathbb R, x\mapsto 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_n: [0,1] \to \mathbb R, x\mapsto\frac{nx}{1+nx} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ Schlussendlich definiert man dann $\begin{eqnarray} f_n = g_n-g_{n-1} \end{eqnarray}$ Man überlegt sich schnell, dass für alle $\begin{eqnarray} x\in[0,1] \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} g_{n+1} \geq g_n \end{eqnarray}$ und die absolute Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n\in\mathbb N}f_n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in[0,1] \end{eqnarray}$ damit äquivalent ist zur punktweisen Konvergenz der $\begin{eqnarray} g_n \end{eqnarray}$ . Weiter kann man dann zeigen, dass die $\begin{eqnarray} g_n \end{eqnarray}$ punktweise konvergieren, nicht aber gleichmäßig.
06.06.2013, 19:26	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank

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