Uneigentliches Integral lösbar?

06.06.2013, 11:41

Maisinator

Uneigentliches Integral lösbar?

Hallo,

wie berechne ich das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \frac{1}{\sqrt[5]{x-1}}\, dx \end{eqnarray*}$ ?

Mein Ansatz war das in zwei Integrale $\begin{eqnarray*} \int_0^{1-\lambda} \! \frac{1}{\sqrt[5]{x-1}}\, dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{1+\lambda}^2 \! \frac{1}{\sqrt[5]{x-1}}\, dx \end{eqnarray*}$ zu zerlegen und dann jeweils $\begin{eqnarray*} \lim_{\lambda \to 0} \left[\frac{5}{4}(x-1)^{\frac{4}{5}} \right]_{0}^{1-\lambda} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{\lambda \to 0} \left[\frac{5}{4}(x-1)^{\frac{4}{5}} \right]_{1+\lambda}^{2} \end{eqnarray*}$ zu rechnen. Als Lösung erhalte ich 2,5.

Nur frage ich mich:
1. ob es überhaupt ein Integral im Interval 0-1 geben kann, weil die Ausgangsfunktion da ja nicht definiert ist (die Stammfunktion allerdings doch).
und
2. ob mein Ergebnis richtig ist, weil mir Derive als Lösung $\begin{eqnarray*} 2,26-0,73i \end{eqnarray*}$ liefert.

Bin über jede hilfreiche Antwort dankbar smile

06.06.2013, 13:49

schultz

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die Funktion ist zwischen 0 und 1 sehr wohl definiert, bedenke dass es sich um eine ungerade Wurzel handelt!
Ich erhalte jedoch ein anderes Ergebniss, hast du dich vieleicht mit einem Vorzeichen vertan?

06.06.2013, 14:21

Maisinator

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Ach ja, da war ja was mit ungerader Wurzel aus negativer Zahl Hammer

Aber meine Rechnung beeinfluss das glaub ich nicht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{\lambda \to 0} \frac{5}{4} \sqrt[5]{-\lambda} - \frac{5}{4}\sqrt[5]{-1} +\lim_{\lambda \to 0} \frac{5}{4} \sqrt[5]{1} - \frac{5}{4}\sqrt[5]{\lambda} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{\lambda \to 0} \end{eqnarray*}$ gehen die beiden Wurzeln doch gegen Null und ich erhalte 2,5...

06.06.2013, 15:39

schultz

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du hast vergessen dass es (x-1)^(4/5) ist.
Du hast lediglich (x-1)^(1/5) betrachtet

06.06.2013, 16:22

Maisinator

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Zitat:

Original von schultz
du hast vergessen dass es (x-1)^(4/5) ist.
Du hast lediglich (x-1)^(1/5) betrachtet

Oh ja, das hab ich falsch abgetippt. D.h., es kommt 0 raus?

06.06.2013, 18:58

thk