Extremwertberechnung Gasflasche Volumen

06.06.2013, 12:33

Newwonder

Extremwertberechnung Gasflasche Volumen

Hallo!
Meine Aufgabenstellung lautet:
Welche minimale Oberfläche kann eine 7,5l Gasflasche von der Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel haben?
Wenn ich bis jetzt richtig liege sieht meine Hauptbedingung so aus:

HB: O(r,h)= 2r²Pi+r²Pi+2rhPi
HB: O(r,h)= rPi(3r+2h)

NB: V(r,h)= 2r²Pi+r²hPi
h=(7,5- 2r³pi ) / (3r²pi )

Wenn ich jetzt h in die Hauptbedingung einsetzte, wird mir das zu kompliziert zum integrieren.
Gibt es da eine einfachere Lösung?
Und sorry gleich mal das ich mit dem Editor nicht zurecht kam.
Mit freundlichen Grüßen

06.06.2013, 12:50

klarsoweit

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RE: Extremwertberechnung Gasflasche Volumen

Zitat:

Original von Newwonder
NB: V(r,h)= 2r²Pi+r²hPi

Hier stimmt der erste Summand beim Volumen nicht.

Zitat:

Original von Newwonder
Wenn ich jetzt h in die Hauptbedingung einsetzte, wird mir das zu kompliziert zum integrieren.

Wieso willst du integrieren? Du sollst doch einen Extremwert bestimmen.

06.06.2013, 13:53

Newwonder

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Danke!
Ok, sorry, habe in der NB die falsche Formel angegeben. O statt V.

Aber die Formel darunter für h sollte passen. Dort habe ich die Formel für das Volumen der Kugel benutzt.

NB: V (r,h) = (4r³pi) / 6 + r²pih

h=(7,5- 2r³pi ) / (3r²pi )

so stimmt es!

Was ich meinte war, wenn ich jetzt h in die Hauptbedingung einsetzte brauche ich die erste Ableitung davon um den Extremwert berechnen zu können. Das sieht mir ziemlich kompliziert aus smile

Es genügt mir eigentlich nur zu wissen, ob ich die Formel für h, die ich dann in die Hauptbedingung einsetze noch vereinfachen kann.

Mit besten Dank im voraus Wink

06.06.2013, 14:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Newwonder
h=(7,5- 2r³pi ) / (3r²pi )

so stimmt es!

Hm, ehrlich gesagt kann ich das Ergebnis nicht nachvollziehen. Kannst du mal deine Umformung posten?

Zitat:

Original von Newwonder
Was ich meinte war, wenn ich jetzt h in die Hauptbedingung einsetzte brauche ich die erste Ableitung davon um den Extremwert berechnen zu können. Das sieht mir ziemlich kompliziert aus smile

Na ja, auf den ersten Blick vielleicht. Aber keine Angst, das geht schon. Augenzwinkern

06.06.2013, 16:08

Newwonder

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Sorry, ich weiß nicht was heute mit mir los ist.....vielleicht ein schlechter Tag zum lernen smile

Das müsste der richtige Wert sein (hoffe ich), den ich jedoch trotzdem nicht ableiten könnte.

V=7,5l

V für Halbkugel = (4r³pi) / 6
V für Zylinder = r²pi h
(4r³pi) / 6 + r²pi h = 7,5 | *6

4r³pi + 6r²pi h= 45 | -4r³pi

6r²pi h = 45 - 4r³pi

h = (45 - 4r³pi) / (6r²pi)

HB: O(r,h)= 2r²Pi+r²Pi+2rhPi
HB: O (r) = 2r²Pi+r²Pi+2rPi*[(45 - 4r³pi) / (6r²pi)]

07.06.2013, 08:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Newwonder
HB: O (r) = 2r²Pi+r²Pi+2rPi*[(45 - 4r³pi) / (6r²pi)]

Wenn man das mal so schreibt: $\begin{eqnarray*} ... = 3\pi r^2 + 2 \pi r \cdot (\frac{45}{6 \pi r^2} - \frac{4 \pi r^3}{6 \pi r^2}) \end{eqnarray*}$ ,
dann kannst du das pi * r in die Klammer ziehen und noch einiges kürzen. Und dann läßt sich das auch relativ bequem ableiten. Augenzwinkern

08.06.2013, 20:51

Newwonder

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Das sieht ja schon viel einfacher aus Freude

Ich multipliziere die Klammer aus, dann kann ich den ersten Ausdruck mit dem letzten zusammenzählen und mir bleibt das Folgende über:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{r} +\frac{2r²\pi }{3} \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung davon ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{r²} +\frac{4r\pi }{3} \end{eqnarray*}$

Diese setze ich dann Null:

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{r²} +\frac{4r\pi }{3}=0 \end{eqnarray*}$

Und ich bekomme daraus:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{45}{4\pi } } =1,53dm \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis sieht mir plausibel aus und ich denke, dass dieses so passt. Falls noch wer Einwände hat nehme ich diese gerne entgegen Augenzwinkern

Aber ich sage vorerst VIELEN DANK! Ihr habt mir sehr weiter geholfen smile

08.06.2013, 21:41

Newwonder

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Ok, ich habe meinen Fehler schon gefunden smile

Daraus muss ich ableiten

$\begin{eqnarray*} \frac{15}{r} -\frac{5r²\pi }{3} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{45}{8\pi } }=1,214dm \end{eqnarray*}$

Das müsste jetzt aber stimmen.
Bleibt nur mehr zu hoffen das mir bei der Matura nicht solche Schlampigkeitsfehler passieren smile

Aber mit oder ohne meine Fehler..... danke für die wirklich Gute und schnelle Hilfe

09.06.2013, 12:38

thk

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... dann hast du allenfalls einen neuen Fehler gemacht.
Reduziere doch erst mal den Ausdruck von klarsoweit auf zwei einfache Summanden:
- kürzen
- das Ausgeklammerte einmultiplizieren
- zusammenfassen

25.06.2013, 00:19

Newwonder

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Gut das ich noch einmal vorbei geschaut habe smile

Habe jetzt alles noch einmal durchgerechnet.
$\begin{eqnarray*} \frac{15}{r} +\frac{5r²\pi }{3} \end{eqnarray*}$
Soweit war ich noch ident mit der letzten Rechnung smile

Bei der ersten Ableitung sah das schon anders aus smile

$\begin{eqnarray*} O'(r)=-\frac{15}{r²} +\frac{10r\pi }{3} \end{eqnarray*}$
Diese sollte jetzt stimmen. Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt[3]{\frac{45}{10\pi } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=1,127 \end{eqnarray*}$

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