Auswahlaxiom?

06.06.2013, 14:07

SigmarSct

Auswahlaxiom?

Meine Frage:
Hallo, ich habe mal eine Frage zum Auswahlaxiom bzw. ich meine, dass sie mit dem Auswahlaxiom zu tun hat.

Und zwar geht es um Folgendes:

Wenn man irgendein nicht-leeres Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ hat und dann ein $\begin{eqnarray*} p\in U \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} U:=\bigcup\left\{M_i:M_i\in\mathcal{L}\right\} \end{eqnarray*}$

betrachtet, so sagt man ja, dass es dann mindestens ein $\begin{eqnarray*} M_i\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ gibt, s.d. $\begin{eqnarray*} p\in M_i \end{eqnarray*}$ .

Steckt hinter dieser Behauptung nicht [unerwähnt] das Auswahlaxiom?
Dass es also mindestens eine Auswahlfunktion

$\begin{eqnarray*} F\colon \left\{M_i\right\}\to\bigcup\left\{M_i\right\}, X\mapsto F(X)\subseteq X \end{eqnarray*}$

gibt?

Meine Ideen:
Unser Prof. erwähnt so oft das Auswahlaxiom, ohne dass man immer ganz klar erkennt, wo genau man dieses eigentlich voraussetzt. Ist dies so ein Beispiel für einen Gebrauch des Auswahlaxiom, den man nicht immer so glasklar mitformuliert?

06.06.2013, 17:00

Che Netzer

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RE: Auswahlaxiom?

Zitat:

Original von SigmarSct
Steckt hinter dieser Behauptung nicht [unerwähnt] das Auswahlaxiom?

Nein, die Aussage erhältst du schon, indem du die Definition der Vereinigungsmenge aufschreibst.

Zitat:

Unser Prof. erwähnt so oft das Auswahlaxiom, ohne dass man immer ganz klar erkennt, wo genau man dieses eigentlich voraussetzt.

Das könnte auch daran liegen, dass es zu sehr vielen anderen Aussagen äquivalent ist.

06.06.2013, 17:41

SigmarSct

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Dann muss ich ein wenig konkreter fragen. Big Laugh

Also es geht um den Beweis folgender Aussage:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}\subseteq\mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$ .
Zu $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ existiert genau dann eine Topologie $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ eine offene Basis von $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist, wenn (1) und (2) erfüllt sind:

(1) $\begin{eqnarray*} \bigcup\mathcal{L}=\bigcup\limits_{B\in\mathcal{L}}B=X \end{eqnarray*}$

(2) Seien $\begin{eqnarray*} B,B'\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in B\cap B' \end{eqnarray*}$ , dann existiert $\begin{eqnarray*} B''\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in B''\subseteq B\cap B' \end{eqnarray*}$

Es geht um die Beweisrichtung " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ". Da stehe im Skript:

"Ausführlich (mit Auswahlaxiom):

Zu jedem $\begin{eqnarray*} p\in U\cap V \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} B_p\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in B_p\subseteq U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_p\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in C_p\subseteq V \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} B_p, C_p\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} D_p\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in D_p\subseteq B_p\cap C_p \end{eqnarray*}$ (dies folgt aus (2)). Also gilt:

$\begin{eqnarray*} U\cap V=\bigcup\limits_{p\in U\cap V}\left\{p\right\}\subseteq \bigcup\limits_{p\in U\cap V}D_p\subseteq\bigcup\limits_{p\in U\cap V}(B_p\cap C_p)\subseteq U\cap V \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} D_p\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$ , folgt

$\begin{eqnarray*} U\cap V=\bigcup\limits_{p\in U\cap V}D_p\in T_{\mathcal{L}}:=\left\{\bigcup M|M\in\mathcal{L}\right\} \end{eqnarray*}$ ."

Im Grunde ist meine Frage nur:

Wo verwendet man hier das Auswahlaxiom?

07.06.2013, 12:23

Che Netzer

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Zitat:

Original von SigmarSct
Zu jedem $\begin{eqnarray*} p\in U\cap V \end{eqnarray*}$

Was sind $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2013, 14:16

SigmarSct

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$\begin{eqnarray*} U,V\in\mathcal{L} \end{eqnarray*}$

Wink

07.06.2013, 15:22

Che Netzer

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Und ganz am Ende sollte es wirklich $\begin{eqnarray*} M\in\mathcal L \end{eqnarray*}$ .

Naja, wenn $\begin{eqnarray*} U,V\in\mathcal L \end{eqnarray*}$ ist der erste Beweisschritt mit $\begin{eqnarray*} B_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_p \end{eqnarray*}$ schonmal unnötig.
Ein Auswahlaxiom entdecke ich aber auch nicht verwirrt

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