Fouriertransformation - Seite 3

08.06.2013, 16:53

Pauline21

RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Wieso sträubst du dich so sehr dagegen, $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ auch in diesem Ergebnis herauszukürzen?

Ich sträube mich nicht dagegen, sondern ich versuche es zu verstehen was da gekürzt wird ich meine es ist schon eine nicht auf den ersten Blick auffällige Kürzung wie $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2}=1 \end{eqnarray*}$ Daher versuche ich es nachvollzuziehen aber irgendwie hänge ich da fest.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{2 \pi}}= \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\pi}} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll man das da kürzen?

Zitat:

Original von Che Netzer
Ist dir klar, was du jetzt berechnet hast?

Ja die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} g_a (x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 16:56

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Aber wie soll man das da kürzen?

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac2{\sqrt2}=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ , dann ist doch wohl auch $\begin{eqnarray*} \frac2{\sqrt{2\pi}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt\pi} \end{eqnarray*}$ geschockt

Zitat:

Ja die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} g_a (x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$

Bis auf einen Vorfaktor.
Kannst du anhand dieser Tatsache auch die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bestimmen?

08.06.2013, 17:04

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Pauline21
Aber wie soll man das da kürzen?

Wenn $\begin{eqnarray*} \frac2{\sqrt2}=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ , dann ist doch wohl auch $\begin{eqnarray*} \frac2{\sqrt{2\pi}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt\pi} \end{eqnarray*}$ geschockt

Ouh man ja klar. Manchmal stehe ich wie vor einem Berg da und wenn mich jemand darauf hinweist, dann leuchtet es ein... sry und danke. Ich weiß nicht woran es liegt, ich sehe "manchmal" manche Sachen nicht auf anhieb unglücklich

leider.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Ja die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} g_a (x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$

Bis auf einen Vorfaktor.
Kannst du anhand dieser Tatsache auch die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Ja der Vorfaktor, den kann man ja herausziehen. Dann müsste doch wenn ich die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$ mache ja $\begin{eqnarray*} g_a (x) \end{eqnarray*}$ herauskommen plus den Vorfaktor?

08.06.2013, 17:06

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Dann müsste doch wenn ich die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$ mache ja $\begin{eqnarray*} g_a (x) \end{eqnarray*}$ herauskommen plus den Vorfaktor?

Wie begründest du das?

08.06.2013, 17:11

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Wie begründest du das?

Aufgrund der Fouriertransformationeigenschaften, weiß nicht wie das Axiom genannt wird.

08.06.2013, 17:13

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Wie lautet denn die Eigenschaft, auf die du dich berufen möchtest?

08.06.2013, 17:18

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Umkehrformel soweit ich es in Erinnerung habe. Bzw. Umkehrabbildung, inverse Fouriertransformation.

08.06.2013, 17:31

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Woher nimmst du denn hier aber die inverse Fourier-Transformation?

Habt ihr vielleicht eine Formel für $\begin{eqnarray*} \mathcal F^2 \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2013, 17:58

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Woher nimmst du denn hier aber die inverse Fourier-Transformation?

Woher ich die nehme? Nirgends die könnte man ja ausnutzen? Bzw. Wie kann man daraus folgern, dass aus $\begin{eqnarray*} g_a (x) \end{eqnarray*}$ halt $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$ bis auf Vorfaktor herauskommt.

Zitat:

Original von Che Netzer
Habt ihr vielleicht eine Formel für $\begin{eqnarray*} \mathcal F^2 \end{eqnarray*}$ ?

Was ist genau mit $\begin{eqnarray*} \mathcal F^2 \end{eqnarray*}$ gemeint?

08.06.2013, 18:05

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Nirgends die könnte man ja ausnutzen?

Das müsstest du noch ausformulieren verwirrt

Zitat:

Was ist genau mit $\begin{eqnarray*} \mathcal F^2 \end{eqnarray*}$ gemeint?

Das soll
$\begin{eqnarray*} \mathcal F^2f=\mathcal F(\mathcal F f) \end{eqnarray*}$
sein, also die Fourier-Transformierte der Fourier-Transformierten.
Denn bis auf Vorfaktor ist ja
$\begin{eqnarray*} \mathcal Ff_a=\mathcal F(\mathcal Fg_a)\,. \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 18:35

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Also ich habe mal die Seiten aus meinem Buch hier hochgeladen, ich werde leider nicht schlau daraus verwirrt

08.06.2013, 18:39

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Schade.
Dann schreib die Umkehrformel auf und substituiere, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} t\mapsto\hat f(-t) \end{eqnarray*}$ ist.

08.06.2013, 18:57

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Dann schreib die Umkehrformel auf und substituiere, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} t\mapsto\hat f(-t) \end{eqnarray*}$ ist.

Das kann ich nicht ganz nachvollziehen. Auch nicht was ich substituieren soll.

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{+i \xi x} \hat f (\xi) d \xi \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 19:23

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Ja. Und jetzt substituiere z.B. $\begin{eqnarray*} t=-\xi \end{eqnarray*}$ .

08.06.2013, 19:38

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
So etwa $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} -e^{-i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2013, 19:46

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Du hast nur einen Vorzeichenfehler gemacht bzw. die Grenzen nicht substituiert.

08.06.2013, 20:25

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Integration mit Substitution wiederholt

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\infty}^{-\infty} -e^{-i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmt es aber?

08.06.2013, 20:28

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Ja. Jetzt kehre die Integrationsgrenzen um und beachte dabei das Vorzeichen.

08.06.2013, 20:32

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Wieso soll ich jetzt die Integrationsgrenzen umkehren? verwirrt

08.06.2013, 20:33

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Damit du $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ als untere Grenze erhältst, wie es üblich ist.

08.06.2013, 20:41

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Es ist wirklich unheimlich viel worauf man achten muss. So:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 20:44

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Ja.
Erkennst du, dass rechts vom Gleichheitszeichen eine Fourier-Transformierte steht?
Nun wende das auf $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ an.

08.06.2013, 20:49

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Erkennst du, dass rechts vom Gleichheitszeichen eine Fourier-Transformierte steht?

Leider erkenne ich es nicht. Da müsstest du bitte irgendwie nachhaken.

Zitat:

Original von Che Netzer
Nun wende das auf $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ an.

08.06.2013, 20:57

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Die Fourier-Transformierte einer Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist durch
$\begin{eqnarray*} \hat g(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm itx}g(x)\dx \end{eqnarray*}$
gegeben.
Wir haben nun
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
erhalten.
Da fällt dir wirklich keine Ähnlichkeit auf?

08.06.2013, 21:07

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Da fällt dir wirklich keine Ähnlichkeit auf?

$\begin{eqnarray*} \hat g(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm itx}g(x)\dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$

Doch schon, nur mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wieso anstatt des $\begin{eqnarray*} g(x) dx \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$ , die Zusammenhänge sind mir nicht "immer" klar.

Z.B. die Eulerformel $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( \varphi\right). \end{eqnarray*}$ aber weshalb sie so ist, weiß ich auch nicht.
(nur so am Rande)

08.06.2013, 21:10

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Anstelle der Fourier-Transformierten von $\begin{eqnarray*} x\mapsto g(x) \end{eqnarray*}$ wird halt die von $\begin{eqnarray*} t\mapsto\hat f(-t) \end{eqnarray*}$ gebildet. Diese stimmt dann mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überein.

Zu der Euler-Formel kannst du ja einen neuen Thread eröffnen und dort um Erklärung bitten.

08.06.2013, 21:13

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Anstelle der Fourier-Transformierten von $\begin{eqnarray*} x\mapsto g(x) \end{eqnarray*}$ wird halt die von $\begin{eqnarray*} t\mapsto\hat f(-t) \end{eqnarray*}$ gebildet. Diese stimmt dann mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überein.

Und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist demzufolge was ? verwirrt

08.06.2013, 21:30

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Eine Funktion.
Diejenige, von der man ausgeht. Wenn man deren Fourier-Transformierte bildet, das Argument "spiegelt" und dann abermals eine Fourier-Transformation durchführt, gelangt man wieder zur ursprünglichen Funktion.

08.06.2013, 21:49

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Oki. Und in mathematischen Worten lautet es wie?

08.06.2013, 21:54

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
In Formelschreibweise? So:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t\,. \end{eqnarray*}$

So langsam solltest du das aber mal auf die Aufgabe anwenden.

08.06.2013, 22:00

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
So langsam solltest du das aber mal auf die Aufgabe anwenden.

Ja aber dalli. Nur wenn ich wüsste wie verwirrt

08.06.2013, 22:01

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Indem du (wie bereits erwähnt) $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
einsetzt.

08.06.2013, 22:19

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Indem du (wie bereits erwähnt) $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
einsetzt.

$\begin{eqnarray*} g_a (x)= e^{-a|x|} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$ verwirrt

08.06.2013, 22:22

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Ja. Was ist $\begin{eqnarray*} \hat g_a(-t) \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2013, 22:28

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
$\begin{eqnarray*} \hat g_a(-t)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{a}{a^2+t^2} \right) \end{eqnarray*}$

08.06.2013, 22:31

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Nun schreib das, indem du $\begin{eqnarray*} f_a(t) \end{eqnarray*}$ benutzt.

08.06.2013, 22:34

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Nun schreib das, indem du $\begin{eqnarray*} f_a(t) \end{eqnarray*}$ benutzt.

Ich soll das als

Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} \hat g_a(-t)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{a}{a^2+t^2} \right) \end{eqnarray*}$

definieren?

08.06.2013, 22:36

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Wie kommst du denn jetzt auf "definieren"?
Benutze einfach den Zusammenhang, den wir zwischen $\begin{eqnarray*} \hat g_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ gefunden haben.

08.06.2013, 22:46

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Ich sollte dies verwenden anhand

Zitat:

Original von Che Netzer
Nun schreib das, indem du $\begin{eqnarray*} f_a(t) \end{eqnarray*}$ benutzt.

dessen. Ich verlieren den Faden verwirrt

08.06.2013, 22:49

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Im Moment sollst du nur $\begin{eqnarray*} \hat g_a(t) \end{eqnarray*}$ als einen Ausdruck in $\begin{eqnarray*} f_a(t) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Anschließend setzt du $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
ein.

Im Integral kannst du dann die im ersten hier aufgezählten Schritt gemeinte Darstellung von $\begin{eqnarray*} \hat g_a(-t) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Versuch am besten mal, alle drei Schritte selbst durchzuführen. Den ersten hatten wir bereits, die anderen beiden bestehen nur aus dem Einsetzen von Gleichungen in andere.
Das sind elementarste Dinge, die du auf jeden Fall beherrschen musst.

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