Fouriertransformation - Seite 4

08.06.2013, 23:07

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Also ich habe gegeben:
$\begin{eqnarray*} \hat g_a(t)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{a}{a^2+t^2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_a(t)= \frac{1}{\pi} \frac{a}{a^2+t^2} \end{eqnarray*}$

dies zu $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Wovon ist jetzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abhängig und $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ also von welcher Variablen.

Und dann die Darstellung von $\begin{eqnarray*} \hat g_a (-t) \end{eqnarray*}$ ins Integral einsetzen. Hm.

Wie komme ich auf die Fouriertransformierte $\begin{eqnarray*} \hat g_a (-t) \end{eqnarray*}$ (also -t !)

Ich mache sowas zum ersten Mal ich bitte um Geduld und Verständnis.

08.06.2013, 23:18

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Also ich habe gegeben:
$\begin{eqnarray*} \hat g_a(t)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{a}{a^2+t^2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_a(t)= \frac{1}{\pi} \frac{a}{a^2+t^2} \end{eqnarray*}$

Und da fällt dir hoffentlich ein Zusammenhang auf.

Zitat:

dies zu $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Was soll dieser Satz bedeuten?

Zitat:

Wie komme ich auf die Fouriertransformierte $\begin{eqnarray*} \hat g_a (-t) \end{eqnarray*}$ (also -t !)

Wenn deine Frage ist, wie du von einer Gleichung für $\begin{eqnarray*} \hat g_a(t) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , zu einer für $\begin{eqnarray*} \hat g_a(-t) \end{eqnarray*}$ kommst, musst du dir das selbst überlegen. Wenn das nicht funktioniert, bin ich weg.

Zitat:

Ich mache sowas zum ersten Mal ich bitte um Geduld und Verständnis.

Du setzt zum ersten mal eine Gleichung in eine andere ein?

Bei dir besteht wirklich immenser Übungs- und Nachholbedarf. Die Lücken beginnen schon in der Schulmathematik. Auf jeden Fall solltest du eine Vorlesung wie Analysis 1 oder Mathematik 1 gründlichst nacharbeiten. Bei Bedarf noch ein Schulbuch.
Es gibt z.B. ein Buch namens "A Problem Book in Real Analysis". Darin könntest du zumindest die ersten sieben Kapitel davon durchzuarbeiten (wenn dein Studium eher mathematisch orientiert ist).
Ansonsten könntest du noch die Aufgaben in einem anderen Buch zur Analysis bearbeiten, das für deine Vorlesungen geeignet ist.

Am besten wäre es aber wohl, die Erstsemesterveranstaltungen komplett zu wiederholen.

08.06.2013, 23:37

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Pauline21
Also ich habe gegeben:
$\begin{eqnarray*} \hat g_a(t)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{a}{a^2+t^2} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_a(t)= \frac{1}{\pi} \frac{a}{a^2+t^2} \end{eqnarray*}$

Und da fällt dir hoffentlich ein Zusammenhang auf.

Dieser fiel mir ja schon eben wohlbemerkt auf.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

dies zu $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Was soll dieser Satz bedeuten?

Wovon $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ abhängig sind x,y,z,t,Bananen

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Pauline21
[quote]Wie komme ich auf die Fouriertransformierte $\begin{eqnarray*} \hat g_a (-t) \end{eqnarray*}$ (also -t !)

Wenn deine Frage ist, wie du von einer Gleichung für $\begin{eqnarray*} \hat g_a(t) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , zu einer für $\begin{eqnarray*} \hat g_a(-t) \end{eqnarray*}$ kommst, musst du dir das selbst überlegen. Wenn das nicht funktioniert, bin ich weg.

Zitat:

Ich mache sowas zum ersten Mal ich bitte um Geduld und Verständnis.

Du setzt zum ersten mal eine Gleichung in eine andere ein?

Wie soll ich mir bei dem ganzen Kuddelmuddel herleiten, und nein ich setze nicht zum ersten mal eine Gleichung in eine andere ein. Aber wenn man Fouriertransformierte davon, dann das negative davon gleich dem minus dem plus das. Wie soll man da durchblicken?

Zitat:

Original von Che Netzer
Bei dir besteht wirklich immenser Übungs- und Nachholbedarf. Die Lücken beginnen schon in der Schulmathematik. Auf jeden Fall solltest du eine Vorlesung wie Analysis 1 oder Mathematik 1 gründlichst nacharbeiten. Bei Bedarf noch ein Schulbuch.
Es gibt z.B. ein Buch namens "A Problem Book in Real Analysis". Darin könntest du zumindest die ersten sieben Kapitel davon durchzuarbeiten (wenn dein Studium eher mathematisch orientiert ist).
Ansonsten könntest du noch die Aufgaben in einem anderen Buch zur Analysis bearbeiten, das für deine Vorlesungen geeignet ist.

Am besten wäre es aber wohl, die Erstsemesterveranstaltungen komplett zu wiederholen.

Danke. Vielleicht kannst du mir einfach bei der Aufgabe behilflich sein, so wie ein Nachhilfelehrer, dann bin ich überglücklich. Ich soll mein halbes Leben opfern um Sachen zu lernen, die ich später nie brauchen werde?... Ich bin das letzte mal an Silvester ausgegangen, und dass ich jetzt hier bin, sollte doch Zeugnis genug meiner Mühe sein.

08.06.2013, 23:47

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Wie du die Argumente von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \hat g_a \end{eqnarray*}$ nennst, ist nicht relevant.

Nun gut...
Ich nehme an, dir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \hat g_a=\sqrt{2\pi}f_a \end{eqnarray*}$ ist.
Jetzt betrachte die ganz allgemeine Gleichung
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ .
Insbesondere ist dann $\begin{eqnarray*} \hat f=\hat g_a=\sqrt{2\pi}f_a \end{eqnarray*}$ .
Also:
$\begin{eqnarray*} g_a(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm itx}\sqrt{2\pi}f_a(-t)\dd t\,. \end{eqnarray*}$

Ist soweit alles klar?
Wenn du noch nicht siehst, worauf das hinausläuft, ist das nicht allzu schlimm; das wird hoffentlich noch klar.
Wir wollen nämlich die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Die rechte Seite sieht auch fast schon so aus. Es stören nur zwei Dinge. Welche?
Das erste Problem kannst du beheben, indem du die Gleichung durch einen bestimmten Wert teilst.

Um das zweite in den Griff zu kriegen, bestimme mal $\begin{eqnarray*} f_a(-t) \end{eqnarray*}$ , d.h. setze $\begin{eqnarray*} -t \end{eqnarray*}$ in die Funktionsvorschrift ein.

Zitat:

Wie soll ich mir bei dem ganzen Kuddelmuddel herleiten, und nein ich setze nicht zum ersten mal eine Gleichung in eine andere ein. Aber wenn man Fouriertransformierte davon, dann das negative davon gleich dem minus dem plus das. Wie soll man da durchblicken?

Am Ende können wir das ganze nochmal zusammenfassen, dann kannst du die einzelnen Schritte sicher besser nachvollziehen.

09.06.2013, 00:23

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Wie du die Argumente von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \hat g_a \end{eqnarray*}$ nennst, ist nicht relevant.

Nun gut...
Ich nehme an, dir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \hat g_a=\sqrt{2\pi}f_a \end{eqnarray*}$ ist.
Jetzt betrachte die ganz allgemeine Gleichung
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ .
Insbesondere ist dann $\begin{eqnarray*} \hat f=\hat g_a=\sqrt{2\pi}f_a \end{eqnarray*}$ .
Also:
$\begin{eqnarray*} g_a(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm itx}\sqrt{2\pi}f_a(-t)\dd t\,. \end{eqnarray*}$

Ist soweit alles klar?

Ja habe es mir intensiv in meine kleine blonde Birne hineingeschrieben.

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn du noch nicht siehst, worauf das hinausläuft, ist das nicht allzu schlimm; das wird hoffentlich noch klar.
Wir wollen nämlich die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Die rechte Seite sieht auch fast schon so aus. Es stören nur zwei Dinge. Welche?
Das erste Problem kannst du beheben, indem du die Gleichung durch einen bestimmten Wert teilst.

Um das zweite in den Griff zu kriegen, bestimme mal $\begin{eqnarray*} f_a(-t) \end{eqnarray*}$ , d.h. setze $\begin{eqnarray*} -t \end{eqnarray*}$ in die Funktionsvorschrift ein.

Das erste mhm. Also man könnte den Konstanten Faktor vor das Integral ziehen, dann kürzt er sich weg und zweitens $\begin{eqnarray*} f_a(-t)= \frac{1}{\pi} \frac{a^2}{t^2+a^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Che Netzer
Am Ende können wir das ganze nochmal zusammenfassen, dann kannst du die einzelnen Schritte sicher besser nachvollziehen.

Ja mit Sicherheit, dann werden die Häppchen zur Torte.

09.06.2013, 00:31

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Der Faktor soll sich aber nicht unbedingt wegkürzen. Auf der rechten Seite soll ein $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ übrig bleiben.
Und ja, es ist $\begin{eqnarray*} f_a(-t)=f_a(t) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hast du also
$\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt{2\pi}}g_a(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm itx}f_a(t)\dd t\,. \end{eqnarray*}$
Was erkennst du in der rechten Seite?

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09.06.2013, 00:36

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Der Faktor soll sich aber nicht unbedingt wegkürzen. Auf der rechten Seite soll ein $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ übrig bleiben.

Habe ich mir gedacht.

Zitat:

Original von Che Netzer
Und ja, es ist $\begin{eqnarray*} f_a(-t)=f_a(t) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hast du also
$\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt{2\pi}}g_a(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm itx}f_a(t)\dd t\,. \end{eqnarray*}$
Was erkennst du in der rechten Seite?

Ja rechts $\begin{eqnarray*} f_a(t) \end{eqnarray*}$ eingesetzt in die Fouriertransformationsformel.

09.06.2013, 00:42

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Kannst du damit eine Gleichung für die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ angeben?

09.06.2013, 00:53

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Eine Gleichung für die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

langsam bekomme ich eine Glatze vom Kratzen... Aber du meinst wohl $\begin{eqnarray*} f_a= \frac{\hat g_a}{\sqrt{2 \pi}} \end{eqnarray*}$ ?

09.06.2013, 01:04

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Da hast du den Hut falsch gesetzt.

09.06.2013, 01:10

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Ja wahrhaftig

$\begin{eqnarray*} \hat f_a= \frac{g_a}{\sqrt{2 \pi}} \end{eqnarray*}$

aber Moment mal.

Zitat:

Original von Che Netzer

Nun gut...
Ich nehme an, dir ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \hat g_a=\sqrt{2\pi}f_a \end{eqnarray*}$ ist.
Jetzt betrachte die ganz allgemeine Gleichung...

Wieso galt dann vorher das?

09.06.2013, 01:17

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation
Wieso soll denn nicht beides gelten? Big Laugh

Big Laugh

Wenn wir die Fourier-Transformation auf $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ anwenden, landen wir also bei $\begin{eqnarray*} \frac{g_a}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ .
Wenn wir sie nochmals anwenden, landen wir wieder bei $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ , denn die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi}f_a \end{eqnarray*}$ .

Im allgemeinen entspricht eine zweimalige Anwendung der Fourier-Transformation einer Umkehrung des Arguments der Funktion, d.h. $\begin{eqnarray*} \mathcal F(\mathcal Ff) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} t\mapsto f(-t) \end{eqnarray*}$ .
Da hier aber beide Funktionen $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ gerade sind, d.h. nicht vom Vorzeichen ihres Arguments abhängen, fällt das gar nicht auf und die zweimalige Anwendung der Fourier-Transformation bewirkt keine Änderung.

Hast du noch irgendwelche Fragen zu den Rechenschritten/Ideen?

09.06.2013, 01:24

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Hast du noch irgendwelche Fragen zu den Rechenschritten/Ideen?

Momentan nicht, aber morgen füh/vormittag ergeben sich mit Sicherheit noch einige Fragen wenn ich alles versuche zusammenzufassen.

Ich danke dir jedenfalls vom ganzen Herzen, denn es ist ein unfassbarer Service den du hier tätigst, ich danke danke danke! Gutes Nächtle und bis dann. Mit Zunge

Mit Zunge

09.06.2013, 14:47

Pauline21

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RE: Fouriertransformation
Mittels Umkehrformel und Substitution soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} t\mapsto\hat f(-t) \end{eqnarray*}$ ist.

Unsere Umkehrformel besagt, dass:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{+i \xi x} \hat f (\xi) d \xi \end{eqnarray*}$

Substituiere $\begin{eqnarray*} t=-\xi \end{eqnarray*}$ und erhalte nach Umformungen:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Che Netzer
Die Fourier-Transformierte einer Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist durch
$\begin{eqnarray*} \hat g(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-\mathrm itx}g(x)\dx \end{eqnarray*}$
gegeben.
Wir haben nun
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
erhalten.
Da fällt dir wirklich keine Ähnlichkeit auf?

Könnte ich das nochmal in einer Formel erhalten, also was die Identität ist bzw. wieso es dazu kommt?

Zitat:

Original von Che Netzer
Anstelle der Fourier-Transformierten von $\begin{eqnarray*} x\mapsto g(x) \end{eqnarray*}$ wird halt die von $\begin{eqnarray*} t\mapsto\hat f(-t) \end{eqnarray*}$ gebildet. Diese stimmt dann mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

Es bedeutet also, dass $\begin{eqnarray*} \hat f_a (-t)=f_a (t) \end{eqnarray*}$
Und welche Rolle spielt da jetzt unser $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Pauline21

Zitat:

Original von Che Netzer
Indem du (wie bereits erwähnt) $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$
einsetzt.

$\begin{eqnarray*} g_a (x)= e^{-a|x|} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-\mathrm i t x} \hat f (-t) d t \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Aber wieso ist $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ ? Bzw. was ist jetzt hier das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Nach intensivem befassen mit der Aufgabe muss ich sagen, dass im Großen und Ganzen ich auf der richtigen Spur bin, die Berechnung der Fouriertransformation von $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$ nachvollzuziehen. Es sind mir aber alle Übergänge noch nicht klar. Die Berechnung von $\begin{eqnarray*} g_a (x) \end{eqnarray*}$ ist komplett verstanden. Ich bräuchte also noch ein wenig Beistand, vielleicht eine Zusammenfassung was bei der Berechnung der Fouriertransformierten von $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$ mittels Umkehrformel passiert.

09.06.2013, 17:25

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Könnte ich das nochmal in einer Formel erhalten, also was die Identität ist bzw. wieso es dazu kommt?

Welche Identität?

Man kann es aber auch folgendermaßen aufschreiben:
Mit $\begin{eqnarray*} f(-\cdot) \end{eqnarray*}$ bezeichne ich mal die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto f(-x) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(-\cdot) \end{eqnarray*}$ ist in gewisser Weise $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , nur dass das Argument reflektiert ist.
Nun kann man sich folgendes Diagramm aufmalen:
$\begin{align*} \end{align*}\[\begin{array}{ccc}f&\xrightarrow{\mathcal F}&\hat f\\\uparrow&&\downarrow\\\mathcal F^{-1}f&\leftarrow&f(-\cdot)\end{array}\]\begin{align*} \end{align*}$
Alle Pfeile bezeichnen Fourier-Transformationen.
Dass die Fourier-Transformierte von einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Fourier-Transformierte $\begin{eqnarray*} \hat f \end{eqnarray*}$ ist, ist einfach die Definition.
Dass die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} \hat f \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} f(-\cdot) \end{eqnarray*}$ ist, haben wir eigentlich schon durch Substitution gezeigt.
Wendet man darauf wieder zweimal die Fourier-Transformation an, ist das eine abermalige Spiegelung des Arguments und man gelangt wieder zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Um einen Schritt zurückzugehen, beobachtet man
$\begin{eqnarray*} \mathcal F\bigl(f(-\cdot)\bigr)=\underbrace{\mathcal F^{-1}\mathcal F}_{=\operatorname{Id}}\mathcal F\bigl(f(-\cdot)\bigr)=\mathcal F^{-1}\underbrace{\Bigl(\mathcal F\bigl(\mathcal F\bigl(f(-\cdot)\bigr)\bigr)\Bigr)}_{=f}=\mathcal F^{-1}f\,. \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachten wir das ganze speziell für $\begin{eqnarray*} f=g_a \end{eqnarray*}$ . Das heißt, wir betrachten nicht den allgemeinen Fall für irgendein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sondern den speziellen Fall für $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ .
Dann erhalten wir
$\begin{align*} \end{align*}\[\begin{array}{ccc}g_a&\xrightarrow{\mathcal F}&\hat g_a\\\uparrow&&\downarrow\\\mathcal F^{-1}g_a&\leftarrow&g_a(-\cdot)\end{array}\]\begin{align*} \end{align*}$
Wir wissen nun, dass $\begin{eqnarray*} \hat g_a=\sqrt{2\pi}f_a \end{eqnarray*}$ .
Der Vorfaktor ist mir jetzt egal; den lasse ich also weg. Im folgenden Diagramm gelten die Beziehungen also nur bis auf konstante Vorfaktoren; die sind aber nicht schwer zu ergänzen:
$\begin{align*} \end{align*}\[\begin{array}{ccc}g_a&\xrightarrow{\mathcal F}&f_a\\\uparrow&&\downarrow\\\mathcal F^{-1}g_a&\leftarrow&g_a(-\cdot)\end{array}\]\begin{align*} \end{align*}$
Außerdem wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} g_a(-\cdot)=g_a \end{eqnarray*}$ ist – genau wie $\begin{eqnarray*} f_a(-\cdot)=f_a \end{eqnarray*}$ , denn in beiden Fällen steht das Argument im Quadrat oder im Betrag.
Also haben wir
$\begin{align*} \end{align*}\[\begin{array}{ccc}g_a&\xrightarrow{\mathcal F}&f_a\\\uparrow&&\downarrow\\\mathcal F^{-1}g_a&\leftarrow&g_a\end{array}\]\begin{align*} \end{align*}$
Wenn man jetzt speziell den untersten Pfeil betrachtet, sieht man übrigens, dass dort die Fourier-Transformierte von $\begin{eqnarray*} g_a \end{eqnarray*}$ gebildet wird. Damit muss $\begin{eqnarray*} \mathcal F^{-1}g_a=\hat g_a=f_a \end{eqnarray*}$ sein:
$\begin{align*} \end{align*}\[\begin{array}{ccc}g_a&\xrightarrow{\mathcal F}&f_a\\\uparrow&&\downarrow\\f_a&\leftarrow&g_a\end{array}\]\begin{align*} \end{align*}$

09.06.2013, 20:23

Pauline21

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Man kann es aber auch folgendermaßen aufschreiben:
Mit $\begin{eqnarray*} f(-\cdot) \end{eqnarray*}$ bezeichne ich mal die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto f(-x) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(-\cdot) \end{eqnarray*}$ ist in gewisser Weise $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , nur dass das Argument reflektiert ist.

Und der Punkt in $\begin{eqnarray*} f(-\cdot) \end{eqnarray*}$ ist sozusagen Platzhalter für eine Variable?

Zitat:

Original von Che Netzer
Um einen Schritt zurückzugehen, beobachtet man
$\begin{eqnarray*} \mathcal F\bigl(f(-\cdot)\bigr)=\underbrace{\mathcal F^{-1}\mathcal F}_{=\operatorname{Id}}\mathcal F\bigl(f(-\cdot)\bigr)=\mathcal F^{-1}\underbrace{\Bigl(\mathcal F\bigl(\mathcal F\bigl(f(-\cdot)\bigr)\bigr)\Bigr)}_{=f}=\mathcal F^{-1}f\,. \end{eqnarray*}$

Also den Kreislauf in Uhrzeigersinn habe ich verstanden. Den jetzt mit dem Schritt zurück nicht so wirklich. Und wirklich super Veranschaulichung des Ganzen deinerseits. Großes Kino! Danke. Gott

Gott

Kleine Frage zu Aufgabenteil $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ wo man ja zeigen soll, dass

$\begin{eqnarray*} f_a * f_b=f_{a+b} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b >0. \end{eqnarray*}$

Also kann ich doch jetzt mir quasi zwei Funktionen definieren, einmal:
$\begin{eqnarray*} f_a (x):=\frac{1}{\pi} \frac{a}{x^2+a^2} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f_b (x):=\frac{1}{\pi} \frac{b}{x^2+b^2} \end{eqnarray*}$
Ich soll es aber mittels Fouriertransformation zeigen verwirrt

verwirrt

Also müsste ich diese bilden jeweils und dann diese miteinander multiplizieren?
Aber es sind ja keine Hütchen aufgemalt, d.h. es ist ja nicht die Fouriertransformierte verwirrt

verwirrt

09.06.2013, 20:39

Che Netzer

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RE: Fouriertransformation

Zitat:

Original von Pauline21
Und der Punkt in $\begin{eqnarray*} f(-\cdot) \end{eqnarray*}$ ist sozusagen Platzhalter für eine Variable?

Ja. Das ist übrigens eine ziemlich geläufige Schreibweise – ist sie dir noch nie untergekommen?

Zitat:

Den jetzt mit dem Schritt zurück nicht so wirklich.

Wir kommen problemlos in zwei Schritten (sprich: nach zweifacher Fourier-Transformation) von "rechts unten" nach "links oben".
Eigentlich wollen wir aber zeigen, dass man mit einer Fourier-Transformation von rechts unten nach links unten kommt.
Das kann man tun, indem man sich folgendes überlegt: Eine einzelne Fourier-Transformation ist das gleiche wie eine zweifache mit nachfolgender Rücktransformation. Genau wie $\begin{eqnarray*} 1=1+1-1 \end{eqnarray*}$ .
Wir können also von rechts unten zwei Schritte "vorgehen" (zweimal Fourier-transformieren) und wissen, dass wir links oben landen. Wenn wir von dort aus einen Schritt "zurückgehen" (inverse Fourier-Transformation), sehen wir, dass wir links unten ankommen.
Also führt "ein Schritt" von rechts unten tatsächlich nach links unten.

Für den Aufgabenteil b) eröffne lieber einen neuen Thread. Dieser hier ist schon gigantisch genug.
Bis dahin kannst du dir schonmal $\begin{eqnarray*} f_a=\hat g_a \end{eqnarray*}$ und Rechenregeln für Faltungen und Produkte in Bezug auf Fourier-Transformationen durch den Kopf gehen lassen.

09.06.2013, 21:01

Pauline21

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Ok dann fasse ich noch mal mit einem dankeschön zusammen Gott

Gott

.

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