Beweis der Lundberg Ungleichung

06.06.2013, 20:57	scu	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Lundberg Ungleichung Meine Frage: Hallo zusammen, ich versuche gerade für ein Seminar den Beweis der (Cramér-) Lundberg Ungleichung aus dem Buch Non-Life Insurance Mathematics zu verstehen. Der Beweis ist wird per Induktion geführt, was aber nicht sonderlich wichtig ist, weil meine Frage nur mit einem Schritt und einer Notation zu tun hat. Also die Ausgangslage ist folgende: $\begin{eqnarray} \psi_{k+1}(u)=P\left(\max_{1\le n\le k+1} S_n>u\right)=P(Z_1>u)+P\left(\max_{2\le n\le k+1}(Z_1+(S_n-Z_1)>u,Z_1\le u\right) =\int_{(u,\infty)}dF_{Z_1}(x)+\int_{(-\infty,u]}P\left(\max_{1\le n\le k}[x+S_n]>u\right)dF_{Z_1}(x) \end{eqnarray}$ Hierbei soll gelten, dass $\begin{eqnarray} S_n=\sum_{i=1}^n Z_i \text{ und } F_{Z_1} \end{eqnarray}$ die Veteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Z_1 \end{eqnarray}$ ist. Also ich verstehe das dritte Gleichheitszeichen nicht. Zum einen ist mir die Integration nach einer Verteilungsfunktion fremd (anscheindend hatten wir da andere Notationen in der Vorlesung); und zum anderen verstehe ich die Umformung des zweiten Summanden nicht. Wird da ein Indexshift gemacht? Und wo kommt das x her? Meine Ideen: Zunächst zur Notation: Ich habe mir überlegt, dass $\begin{eqnarray} \int_{(u,\infty)}dF_{Z_1}(x)=F_{Z_1}(\infty)-F_{Z_1}(u)=1-P(Z_1 \le u) \end{eqnarray}$ gelten könnte. Dann würde ich zumindest den ersten Summanden verstehen. Über den zweiten Summanden habe ich mir schon den Kopf zerbrochen. Ich vermute, dass die Integralgrenzen von der zweiten Bedingung $\begin{eqnarray} Z_1\le u \end{eqnarray}$ kommen. Der Rest ist mir rätselhaft. Im Prinzip werden da doch die ZV $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} Z_{n+1} \end{eqnarray}$ aufaddiert, wieso ändern sich also die Grenzen von n? EDIT: Tut mir Leid ich bin neu in diesem Forum, was habe ich mit Latex falsch gemacht, dass es nicht richtig angezeigt wird?
06.06.2013, 21:58	scu	Auf diesen Beitrag antworten »
So da ich meinen Beitrag nicht mehr bearbeiten kann, muss ich dann wohl oder übel einen Doppelpost machen. Nochmal die Ausgangslage: $\begin{eqnarray} \psi_{k+1}(u) & =P\left(\max_{1\le n\le k+1} S_n>u\right)\\ & =P(Z_1>u)+P\left(\max_{2\le n\le k+1}(Z_1+(S_n-Z_1))>u,Z_1\le u\right)\\ & =\int_{(u,\infty)}dF_{Z_1}(x)+\int_{(-\infty,u]}P\left(\max_{1\le n\le k}[x+S_n]>u\right)dF_{Z_1}(x) \end{eqnarray}$ Hierbei soll gelten, dass $\begin{eqnarray} S_n=\sum_{i=1}^n Z_i \text{ und } F_{Z_1} \end{eqnarray}$ die Veteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Z_1 \end{eqnarray}$ ist. Also ich verstehe das dritte Gleichheitszeichen nicht. Zum einen ist mir die Integration nach einer Verteilungsfunktion fremd (anscheindend hatten wir da andere Notationen in der Vorlesung); und zum anderen verstehe ich die Umformung des zweiten Summanden nicht. Wird da ein Indexshift gemacht? Und wo kommt das x her? Meine Ideen: Zunächst zur Notation: Ich habe mir überlegt, dass $\begin{eqnarray} \int_{(u,\infty)}dF_{Z_1}(x)=F_{Z_1}(\infty)-F_{Z_1}(u)=1-P(Z_1 \le u) \end{eqnarray}$ gelten könnte. Dann würde ich zumindest den ersten Summanden verstehen. Über den zweiten Summanden habe ich mir schon den Kopf zerbrochen. Ich vermute, dass die Integralgrenzen von der zweiten Bedingung $\begin{eqnarray} Z_1\le u \end{eqnarray}$ kommen. Der Rest ist mir rätselhaft. Im Prinzip werden da doch die ZV $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} Z_{n+1} \end{eqnarray}$ aufaddiert, wieso ändern sich also die Grenzen von n?

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