Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie

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Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
Meine Frage:
Hallo,
ich habe den Begriff der Konjugationsklasse und den der Partition kennengelernt und einzeln auch verstanden. Nun habe ich aber folgende Aussage gesehen:
Die Konjugationsklassen symmetrischer Gruppen lassen sich sehr einfach angeben. Die Gruppe S_n hat genau n! Elemente, die in p(n) Konjugationsklassen zerfallen. Dabei ist p(n) die Anzahl von Partitionen der natürlichen Zahl n in natürliche Zahlen.


Meine Ideen:
Ich verstehe hierbei nicht wieso p(n) die Anzahl der Partitionen ist. Könnte mir das jemand erklären? Ich werde aus dem Internet und den Büchern nicht schlau.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
hallo,
am besten du guckst dir die situation für kleine n an, beginne mit n=1,2,3.
(n=1 oder 2 ist ja fast trivial). Wie sehen dann jeweils die partionen und die
konjugationsklasse aus? Dann wird dir die sache schnell selbst klar werden...
gruss ollie3
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
partitionen sind für n =1 ja klar: nur die 1
n=2, 2 und 1+1
n=3, 3, 2+1, 1+1+1
etc.

konjugationsklassen wären für
n=1 wieder trivial
n=2, (1)(2) und (12)
n=3, (1)(2)(3) und (12) und (123)

ich weiß nicht genau wie ich das in worte fassen soll, die verschiedenen partitionen geben die zykellängen an oder? hast du da eine bessere notation oder erklärung für?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
Für eine Permutation in nennt man oft die (auf- oder absteigend) geordneten Zyklenlängen in ihrer Darstellung als Produkt elementfremder Zyklen den "Zyklentyp". Wichtig ist es hier zu sehen, dass in einer Klasse konjugierter Elemente genau alle Permutationen zu einem vorgegebenen Zyklentyp liegen...
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
ja und weiter?
ich versteh es immer noch nicht ganz. das ist keine aufgabe die ich gestellt bekommen habe ich will es selbst verstehen warum das so ist, könnt ihr mir nicht einfach erklären warum es so ist? sonst versteh ich es nit. ich komm von selbst nicht drauf, sonst hätte ich hier nicht gefragt.
danke aber auf jeden fall schon mal für die hilfe
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
Mathematik ist "tun", und nicht darüber "lamentieren"... unglücklich

Nimm doch einmal ein etwas größeres Beispiel wie die ... Hier der Beginn der Aufstellung der Klassen konjugierter Elemente

{id}, d.h., 1 Stück vom Zyklentyp (1,1,1,1) (es gibt nur Zyklen der Länge 1)
{(1 2),(1 3),(1 4),(2 3), (2 4),(3 4)}, d.h., 6 Stück vom Zyklentyp (1,1,2)
{(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, d.h., 3 Stück vom Zyklentyp (2,2)

usw.

Führ das mal zu Ende fort und alles sollte gleich sehr viel klarer werden... Augenzwinkern
 
 
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
{(123),(234),(134),(124)} wären doch dann 4 stk vom Zykeltyp (3,1) oder?
gut bei Zykeltyp 4 ist ja klar da isses (1234)

das heißt, dass die Partitionen angeben, in welchen Zykeltyp die Elemente aus S_4 fallen können. und da alle konjugierten zykel eines zykeltyps in einer Konjugationsklasse liegen, zeigen die partitionen an wieviele konjugationsklassen es gibt?
ich glaub in meinem denkmodus fehlt noch ein schritt kann das sein?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
Zitat:
Original von Hilfloser4
{(123),(234),(134),(124)} wären doch dann 4 stk vom Zykeltyp (3,1) oder?

Hm, man kann jetzt nicht gerade behaupten, dass du dich in die Aufgabe "hineinkniest"... Immerhin gibt es 8(!) Zyklen der Länge 3, d.h., du hast gerade mal die Hälfte davon gefunden... unglücklich

Zitat:
Original von Hilfloser4
gut bei Zykeltyp 4 ist ja klar da isses (1234)

Und wieviel Stück gibt es davon? verwirrt

Wenn ich frage, wieviel Stück es jeweils gibt, ist das keine Schikane, sondern eine Art Probe: Am Ende sollte dann für die Gesamtstückzahl dann 4!, also 24 herauskommen... Wenn das stimmt, kann man sich einigermaßen sicher sein, alles richtig gemacht zu haben...

Wenn du also verstanden hast, dass es eine Bijektion zwischen den Klassen konjugierter Elemente und den Zyklentypen gibt, dann brauchst du nur mehr letztere abzählen...
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
mir gings weniger um die anzahl der zykel als vielmehr um die aussage mit der partition, brauche ich fürs verständnis warum die anzahl der partitionen gleich der anzahl der konjugationsklassen ist alle elemente die darin liegen? ich will ja nur wissen, wieso das gilt, ich kanns mir grade nicht selbst erschließen

die partitionen haben etwas mit dem zykeltyp zu tun, verstanden
und dass alle konjugierten zykeln gleichen typs in einer konjugationsklasse liegen hab ich auch verstanden
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
Zitat:
Original von Hilfloser4
die partitionen haben etwas mit dem zykeltyp zu tun, verstanden
und dass alle konjugierten zykeln gleichen typs in einer konjugationsklasse liegen hab ich auch verstanden

Hm, und was genau fehlt dann also noch zum Verständnis der Aufgabe? verwirrt
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
ist das die beziehung zwischen den beiden? dass es genauso viele konjugationsklassen wie partitionen gibt, weil sich das eben über den zykeltyp definiert?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
Ja, jeder Zyklentyp ist nichts anderes als eine aufsteigende Folge positiver ganzer Zahlen, welche als Summe n ergibt... Das sind aber genau die Partitionen von n...

Wie gesagt, solltest du einmal ein etwas größeres Beispiel wie die vollständig durchgerechnet haben, um zu verstehen, was da "abläuft"... Leider ist mein Eindruck, dass du dich mit Händen und Füßen dagegen wehrst... unglücklich
Hilfloser4 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
ich muss immer erstmal ein beispiel sehen, an dem ich die zusammenhänge verstehen kann, danach kann ich diese dann auf andere übertragen. ich bin halt so ein lerntyp, es gibt auch noch viele andere, die das mit sicherheit anders können, ich aber nicht. ich wills verstehen, brauch ein bsp dazu und die meinung der meisten ist eben, dass man sich am besten alles direkt selbst erschließen soll, was meiner meinung nach bei vielen einfach nicht geht aus rein psychologischer sichtweise Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konjugationsklassen und Partitionen - Zahlentheorie
Naja, von diesem "Lerntyp" sind aber die meisten hier, dass sie sich immer erst das Problem anhand eines einfachen Beispiels klar machen müssen, insbesondere auch ich selbst... Das war ja auch der Grund, warum ich darauf gedrängt habe, alles sauber und lückenlos anzuschreiben, damit man sich an dem Beispiel auch wirklich orientieren kann... Trotzdem kommt man nicht darum herum, was man anhand des Beispiels gesehen hat, dann auch zu beweisen... Dieser Teil fehlt hier noch vollständig...
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