Anfangswertproblem (Substitution)

07.06.2013, 12:00

SigmarSct

Anfangswertproblem (Substitution)

Meine Frage:
Lösen Sie das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} y'=2ty+t^3, y(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Kann man irgendwie substituieren um irgendwie eine DGL zu erhalten, die man mit Trennung der Variablen lösen kann?

07.06.2013, 12:33

lgrizu

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RE: Anfangswertproblem (Substitution)
Variation der Konstanten führt auf jeden fall zu einer Lösung.

Substituiren muss man für Trennung der Variablen nicht, bestimme durch Trennung der Variablen eine Lösung der homogenen DGL und betsimme eine Lösung der inhomogenen DGL durch den Ansatz eines kubischen Polynoms, Addition der beiden Lösungen führt zu einer allgemeinen Lösung.

07.06.2013, 12:36

SigmarSct

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Hallo, Igrizu!

Mein Problem ist gerade, dass ich nicht sehe, dass die Rechte Seite von der Form

$\begin{eqnarray*} f(y)\cdot g(t) \end{eqnarray*}$

ist, s.d. ich die Trennung der Variablen anwenden darf.

Und ich verstehe auch nicht so richtig, wo hier eine inhomogene DGL vorliegen soll.

07.06.2013, 12:47

lgrizu

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Naja, homogen (und explizit) ist eine DGL der Form $\begin{eqnarray*} y'(t)-f(t)y(t)=0 \end{eqnarray*}$

inhomogen (aber immer noch explizit) ist deine DGL mit (nach Umstellung) $\begin{eqnarray*} y'(t)-f(t)y(t)=t^3 \end{eqnarray*}$ mit dem Störglied $\begin{eqnarray*} t^3 \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir nun zuerst einmal die homogene DGL betrachten mit $\begin{eqnarray*} y'(t)-2t y(t)=0 \end{eqnarray*}$ kann man mit Trennung der Variablen schnell eine Lösungerrechnen.

Wenn man danach den Ansatz eines kubischen Polynoms wählt kann man algebraisch die Vorafktoren errechnen.

Das sit wie in der Algebra, wenn wir die lineare Abbildung A betrachten und das LGS Ax=b lösen, dann ist der Vektor b addiert mit einem Element des Kerns von A immer noch eine Lösung.

Edit: Ich finde aber eine Lösung mit Variation der Konstanten eleganter.....

07.06.2013, 12:54

SigmarSct

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Okay, als allgemeine Lösung der homogenen Gleichung habe ich dann

$\begin{eqnarray*} y(t)=D\cdot\exp(t^2), D\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Und nun Variation der Konstanten, also den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(t)=D(t)\exp(t^2) \end{eqnarray*}$ machen?

Edit:

Dann lande ich bis jetzt bei:

$\begin{eqnarray*} y'(t)=(D'(t)+2tD(t))\exp(t^2)=t^3 \end{eqnarray*}$

07.06.2013, 13:27

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem (Substitution)
Das ist nicht ganz richtig, denn y' ist nicht t³, sondern:

Zitat:

Original von SigmarSct
Lösen Sie das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} y'=2ty+t^3, y(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

07.06.2013, 13:41

SigmarSct

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Danke, klarsoweit, das hatte ich übersehen.

Edit:

Ich habe dann heraus, dass

$\begin{eqnarray*} y(t)=\frac{3}{2}\exp(t^2)-\frac{(t^2+1)}{2} \end{eqnarray*}$

das Anfangswertproblem löst.

Ich wüsste gerne, ob das korrekt ist.
Bei Bedarf poste ich auch gerne meine Zwischenschritte.

Viele Grüße,

Sigmar

07.06.2013, 13:58

klarsoweit

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Also ich habe nichts einzuwenden. smile

07.06.2013, 14:12

SigmarSct

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Cool.

Vielen Dank an Euch, Igrizu und klarsoweit!

Und ein schönes Wochenende!

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