Gauß Algorithmus/Dimension Fragen

07.06.2013, 13:14

HeinrichKleist1121

Gauß Algorithmus/Dimension Fragen

Hallo liebes Matheboard,

ich hätte da spezielle Fragen bzgl. dem Gauß Algorithmus in Matrixform (Insbesondere zur Stufemform)
und zur Bestimmung der Dimension von gegebenen Vektoren.

1. Frage) Welche von beiden Zeilenvertauschungen ist erlaubt und welche nicht?

Gegeben sei folgende Koeffizienten-Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Variante $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 7 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder 2. Variante

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 7 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig?

2. Frage) Ab wie vielen Vektoren darf ich Gauß anwenden? Bereits ab zwei? Es geht nämlich um folgende Matrizen:

1) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wie man sehen kann, kann ich hier keine richtige Stufenform bilden oder? Wenn ja dann würde mich mal interessieren wie den hier die Stufenform aussehen soll bzgl. der Null Elemente vor allem. Es geht mir nämlich darin bei solchen Arten von Matrizen, die nicht am Ende der Stufe zuende sind, ich hoffe ihr wisst was ich meine.

2) Es geht mir eigentlich darum um die Dimension von vorgegebenen Vektoren zu bestimmen und im Fall $\begin{eqnarray*} begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder nur $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

würde ich nicht wissen wie ich die Nullzeilen zu bestimmen habe, deshalb wäre eine Erklärung super hilfreich. Ich bedabnke mich schon einmal im vorraus! smile

07.06.2013, 13:28

klarsoweit

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RE: Gauß Algorithmus/Dimension Fragen
1. Frage: Variante 2 ist richtig.

2. Frage: du darfst das Gauß-Verfahren immer anwenden.

07.06.2013, 13:31

Kant10001

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Und wie bestimme ich dann die Dimension einer Teilmenge mit nur einem Element bzw einem Vektor?

07.06.2013, 13:41

klarsoweit

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Sofern dieser Vektor nicht der Nullvektor ist, kannst du diesen für die Basis des Vektorraums hernehmen und mithin ist die Dimension 1. Augenzwinkern

07.06.2013, 14:03

Kant100001

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Spielt es eine Rolle wenn die Vektoren Teilmenge vom IR^4 sind? Wäre hier z.b. auch die Dimension von einem Vektor v Teilmenge IR^4 dim(v)=1 ?

07.06.2013, 14:33

klarsoweit

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Du benutzt den Dimensionsbegriff in einem falschen Kontext. Ein Vektor hat keine Dimension. Dimension ist die Anzahl der Basisvektoren, mit denen ein Vektorraum aufgespannt wird.

07.06.2013, 18:49

Kant10001

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Vielen dank für die sogroße Mühe zu versuchen es mir verständlich zu zegen wie es den nun richtig ist.

Noch mal zur Dimension eines Vektors:

Gegeben sei: {(1,2,3)}

Ich überführe diesen Vektor in eine Matrix und wende Gauß an um die Stufenform zu erzeugen. Es folgt (1,0,0) Da nur eine Zeile ungleich 0 ist, ist die Dimension hier 1 oder?

Gegeben sei: {(1,2,0),(4,6,0)}

In Matrixform dargestellt fällt einem auf, dass es die Dimension 2 sein muss.

Richtig?

10.06.2013, 09:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kant10001
Noch mal zur Dimension eines Vektors:

Nochmal klar und deutlich: weder ein Vektor noch eine Matrix haben eine Dimension. Den Begriff "Dimension" gibt es nur im Zusammenhang mit Vektorräumen.

10.06.2013, 20:24

Kant100001

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Jetzt weiss ich was die Dimension ist, danke. Trotzdem würden mich noch zwei Antworten interessieren bzgl. folgender Fragen:

1) Ich berechne die Dimension von vorgegebenen Vektoren indem ich sie in Matrixform schreibe, und mithilfe Gauß in Stufenform bringe. Die Anzahl der Zeilen ungleich Null ist der Rang=Dimension. Korrekt?

2) Du hast mir immer noch nicht gesagt wie es denn nun z.b. bei

{(1,2,3)} oder {(1,2,0),(4,6,0)} der Fall ist.

1. {(1,2,3)}. Spielt es eine Rolle das die Mengen teilmengen des IR^4 sind? Wenn ja, dann müste ich mindestens 4 Vektoren habe um überhaupt sowas in diesem Fall auf Dimension zu überprüfen. Andernfalls wäre hier die Dimension 1, da nur ein Vektor vorgegeben ist. Korrekt?

2. {(1,2,0),(4,6,0)} - Matrix aufstellen, Zeilenstufenform bringen mithilfe Gauß und einfach ablesenn wie wie ungleich Nullzeilen vorhanden sind. Das ist die Dimension bei mehr als einem Vektor. Korrekt?

Ich gebe wirklich mein bestes, aber es ist wirklich sehr schwer alles sofort nachzuvollziehen.

11.06.2013, 10:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kant100001
1) Ich berechne die Dimension von vorgegebenen Vektoren

Nein, nein und nochmals nein. Vektoren haben keine Dimension. Eine Dimension hat lediglich der von Vektoren aufgespannte Vektorraum.

Zitat:

Original von Kant100001
2) Du hast mir immer noch nicht gesagt wie es denn nun z.b. bei

Weil du bislang nicht klar genug gesagt hast, was du willst, bzw. Dinge (Dimension von Vektoren) bestimmen willst, die überhaupt nicht definiert sind.

Zitat:

Original von Kant100001
1. {(1,2,3)}. Spielt es eine Rolle das die Mengen teilmengen des IR^4 sind?

Hm. (1,2,3) ist kein Element des R^4.

Zitat:

Original von Kant100001
2. {(1,2,0),(4,6,0)} - Matrix aufstellen, Zeilenstufenform bringen mithilfe Gauß und einfach ablesenn wie wie ungleich Nullzeilen vorhanden sind. Das ist die Dimension bei mehr als einem Vektor. Korrekt?

Anscheinend willst du hier die Dimension des von {(1,2,0),(4,6,0)} aufgespannten Vektorraums bestimmen. Dafür ist das Verfahren ok.

11.06.2013, 18:38

Kant10001

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Ich meine Teilmengen des IR^3^^.

Demnach wäre die die Dimension von {(1,2,3} 1 oder ?

12.06.2013, 15:56

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Was soll denn in deiner Gedankenwelt {(1,2,3} darstellen ? Das ist die eigentliche Gretchenfrage.

Folgende Aussage läßt sich treffen: der durch den Vektor (1,2,3) aufgespannte Vektorraum hat die Dimension 1.

12.06.2013, 16:54

Kant10001

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Danke, bei mehr als einem Vektor mit x-beliebigen Koordinaten kann ich dann also die Stufenform durch Gauß nutzen und die Dimension ist dann letztendlich in Stufenform, die Anzahl aller Zeilen ungleich Null.

Korrekt? Dann wärs das. Ist meine letzte Frage diesbezüglich.

13.06.2013, 08:24

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Ja. (Wobei ich immer noch ein Unsicherheitsgefühl habe, ob du verstanden hast, wie die Dimension definiert ist.)

13.06.2013, 08:55

Kant10001

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Die Dimension gibt die Anzahl der Vektoren an die eine Basis aufspannen. So oder? Oder handelt es sich eher um die kleinste Anzahl von linearen unabhängigen Vektoren in einer Teilmenge.

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