Doppelpost! DGL (Eigenschaft zeigen)

07.06.2013, 15:13	SigmarSct	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL (Eigenschaft zeigen) Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} \alpha,\beta\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ stetige Funktionen mit $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\to\infty}\beta(t)=0~~~\mbox{und}~~~\sup\limits_{t\in\mathbb{R}}\alpha(t)<0 \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: Jede Lösung $\begin{eqnarray} y\colon [0,\infty)\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ der Differentialgleichung $\begin{eqnarray} y'=\alpha(t)y+\beta(t) \end{eqnarray}$ hat die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\to\infty}y(t)=0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also meine Idee ist, erstmal die allgemeine Lösung zu bestimmen, also erstmal die allgemeine Lösung der homogenen DGL $\begin{eqnarray} y'-\alpha(t)y=0 \end{eqnarray}$ zu bestimmen und dann der inhomogenen DGL und daraus die allgemeine Lösung zu ermitteln. Als allgemeine Lösung der homogenen DGL habe ich $\begin{eqnarray} y(t,C)=C\cdot\exp\left(\int\alpha(t)\, dt\right), C\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Für die inhomogene DGL dachte ich jetzt an Variation der Konstanten: $\begin{eqnarray} y(t,C(t))=C(t)\cdot\exp\left(\int\alpha(t)\, dt\right) \end{eqnarray}$ , dann muss aus $\begin{eqnarray} C'(t)\exp\left(\int\alpha(t)\, dt\right)+C(t)\left(\exp\left(\int\alpha(t)\, dt\right)\right)'-\alpha(t)\cdot C(t)\exp\left(\int\alpha(t)\, dt\right)=\beta(t) \end{eqnarray}$ nun $\begin{eqnarray} C(t) \end{eqnarray}$ ermittelt werden. Doch wie geht das? Edit: Oder kann man vielleicht für beliebiges festes $\begin{eqnarray} \xi\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ bei der homogenen DGL als allgemeine Lösung $\begin{eqnarray} y(t)=C\cdot\exp\left(\int\limits_\xi^t\alpha(x)\, dx\right) \end{eqnarray}$ angeben? (Wenn ich das nach t ableite kommt mit dem dem Hauptsatz der Differential- und Integralgleichung das Gewünschte heraus.)
07.06.2013, 15:40	SigmarSct	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Edit aus meinem letzten Beitrag [den ich leider nicht mehr editieren konnte, da schon 15 Minuten vorbei waren], erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} C(t)=\int\frac{\beta(t)}{\exp\left(\int\limits_{\xi}^{t}\alpha(x)\, dx\right)}\, dt \end{eqnarray}$ Die allgemeine Lösung wäre also demnach: $\begin{eqnarray} y(t)=\underbrace{C\cdot \exp\left(\int\limits_{\xi}^{t}\alpha(x)\, dx\right)}_{\mbox{hom.}}+\underbrace{\int\frac{\beta(t)}{\exp\left(\int\limits_{\xi}^{t}\alpha(x)\, dx\right)}\, dt\cdot\exp\left(\int\limits_{\xi}^{t}\alpha(x)\, dx\right)}_{\mbox{inhom.}}, C\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ Das sieht für mich ein bisschen unheimlich aus. Strebt nicht aber der rechte Summand schonmal gegen 0 für $\begin{eqnarray} t\to\infty \end{eqnarray}$ , da wegen $\begin{eqnarray} \beta(t)\to 0 \end{eqnarray}$ der Integrand gegen 0 strebt?

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