Schwierige Ableitung?

07.06.2013, 17:28

Kant10001

Schwierige Ableitung?

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(2x)/(1+x) \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-2sin(2x)-2xsin(2x)-cos(2x)}{\left(1+x\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich die nächste Ableitung bilden. Nach der Quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{f}{g} \right)^{'} =\frac{f'*g-f*g'}{g^{2} } \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} f=-2sin(2x)-2xsin(2x)-cos(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'=-4cos(x)-4xcos(2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g=(1+x)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'=2x+2 \end{eqnarray*}$

Und letztendlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-4cos(x)-4xcos(2x)*(1+x)^{2}-(-2sin(2x)-2xsin(2x)-cos(2x))*(2x+2)}{(1+x)^{4} } \end{eqnarray*}$

Wie kann ich den das nun ruck zuck zusammenfassen? Ich möchte gerne noch weitere Ableitungen bilden!

Ich hatte bisher immer alles ausgeklammert und dann am Ende zusammengefasst. Aber hier wäre das ausklammern vollkommener Schwachsinn, da dann der Nenner der gesuchten Ableitung unbeschreiblich lang wäre. Wie würdet ihr das nun zusammenfassen?

07.06.2013, 17:31

Kant10001

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Ich meine der Zähler würde unbeschreiblich lang werden!

07.06.2013, 17:36

Kant10001

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Im übrigen hatte ich die Klammern nicht ganz richtig gesetzt.

$\begin{eqnarray*} \frac{(-4cos(x)-4xcos(2x))*((1+x)^{2})-(-2sin(2x)-2xsin(2x)-cos(2x))*(2x+2)}{(1+x)^{4} } \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es richtig.

07.06.2013, 17:45

conlegens

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Ich würde nach dem Ableiten immer ausklammern.
Nach der 1. Ableitung bleibt im Zähler:
$\begin{eqnarray*} 2sin2x(x-1)-cos2x \end{eqnarray*}$

07.06.2013, 17:47

HAL 9000

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Ein Wort zur Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{f}{g^m} \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} m>1 \end{eqnarray*}$ :

Stur nach Quotientenregel ist dann

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{f}{g^m} \right)' = \frac{f'\cdot g^m-f\cdot mg^{m-1}g'}{g^{2m}} \end{eqnarray*}$ ,

so hast du es ja oben bei der zweiten Ableitung mit $\begin{eqnarray*} g=1+x,m=2 \end{eqnarray*}$ ja auch praktiziert - aber:

Es ist nicht sonderlich geschickt, jetzt den Zähler auszumultiplizieren und dadurch komplizierter zu machen. Besser man kürzt erstmal den gemeinsamen Faktor $\begin{eqnarray*} g^{m-1} \end{eqnarray*}$ heraus, so dass entsteht

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{f}{g^m} \right)' = \frac{f'\cdot g-f\cdot mg'}{g^{m+1}} \end{eqnarray*}$ .

Das gleiche Ergebnis bekommt man übrigens per Produktregel, angewandt auf

$\begin{eqnarray*} \left( f\cdot g^{-m} \right)' = f'\cdot g^{-m}+ f\cdot (-m)g^{-m-1}g' \end{eqnarray*}$ .

D.h. in deinem Fall hast du im Nenner dann nur noch $\begin{eqnarray*} (1+x)^3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (1+x)^4 \end{eqnarray*}$ , und der Zähler ist signifikant einfacher strukturiert. Also Obacht vor zu raschem unüberlegten Ausmultiplizieren (in deinem Fall des Faktors $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ im Zähler).

07.06.2013, 18:01

Kant10001

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Wenn ich dein Gesetz anwende (sofern der exponent des Nenners >1 ist) dann verstehe ich das. Aber ich verstehe nicht wie ich nach dem ich bereits die Ableitung gebildet habe

$\begin{eqnarray*} \frac{(-4cos(x)-4xcos(2x))*((1+x)^{2})-(-2sin(2x)-2xsin(2x)-cos(2x))*(2x+2)}{(1+x)^{4} } \end{eqnarray*}$

kürzen kann.

Ich hoffe du verstehst was ich meine. Wie sehe ich das hier auf den ersten Blick, was ich genau kürzen kann? Eventuell markieren oder so. Wäre wirklich dir dankbar.

07.06.2013, 18:21

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} (2x+2) = 2(x+1) \end{eqnarray*}$

Und dann kannst du den Faktor $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ kürzen - natürlich konsequent aus allen Summanden des Zählers.

07.06.2013, 18:33

Kant10001

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} (2x+2) = 2(x+1) \end{eqnarray*}$

Und dann kannst du den Faktor $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ kürzen - natürlich konsequent aus allen Summanden des Zählers.

Wieso alle? Den ganz rechten, also 2(x+1) zu kürzen, habe ich verstanden. Im Zähler ist der Exponent dann 3. Jetzt geht es noch weiter?

07.06.2013, 19:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kant10001
Wieso alle?

Damit meine ich, dass du den Faktor $\begin{eqnarray*} (1+x)^2 \end{eqnarray*}$ im linken Summanden des Zählers nicht einfach stehen lassen solltest, wenn du die Kürzungsoperation durchführst. Tut mir leid, dass ich das so besonders betone, aber ich habe hier im Board schon die haarsträubendsten Dinge in der Hinsicht erlebt.

07.06.2013, 19:13

Kant10001

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Könntest du das irgendwie veranschaulichen an einem Beispiel? Ich versteh jetzt z.b. nicht wieso noch mehr (1+x) gekürzt werden und im Nenner trotzdem der Exponent 3 bleibt...

07.06.2013, 19:15

HAL 9000

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Nochmal ganz, ganz deutlich, was ich meine: Ich rede von

$\begin{eqnarray*} && \frac{(-4\cos(x)-4x\cos(2x))\cdot (1+x)^2 - (-2\sin(2x)-2x\sin(2x)-\cos(2x))\cdot (2x+2)}{(1+x)^4}\\ &=& \frac{(-4\cos(x)-4x\cos(2x))\cdot (1+x)\cdot {\color{red}(1+x)} - (-2\sin(2x)-2x\sin(2x)-\cos(2x))\cdot 2\cdot {\color{red}(1+x)}}{(1+x)^3\cdot {\color{red}(1+x)}}\\ &=& \frac{(-4\cos(x)-4x\cos(2x))\cdot (1+x) - (-2\sin(2x)-2x\sin(2x)-\cos(2x))\cdot 2}{(1+x)^3} \end{eqnarray*}$

Die roten Terme sind die, die gekürzt werden.

07.06.2013, 19:19

Kant10001

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Jetzt versteh ich was du meinst, sollte dann aber nicht im exponent des Nenners eine zwei stehen? Wo liegt mein Denkfehler denn das sollte es wahrscheih nicht sein. Du kürzt ja wie bereits erwähnt zwei (1+x) im Zähler weg durch einen 1+x im Nenner. Das ist mir neu.

07.06.2013, 19:43

HAL 9000

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Versäumnisse in der Mittelstufe rächen sich dann in der Gymnasialstufe:

Nach Distributivgesetz ("ausklammern") ist

$\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot {\color{red}c} + b\cdot {\color{red}c}}{{\color{red}c}} = \frac{(a+b)\cdot {\color{red}c}}{{\color{red}c}} = (a+b) \end{eqnarray*}$ .

Es wird also NICHT ZWEIMAL gekürzt, sondern nur EINMAL. Es gibt ja die ziemlich böse formulierte Merkregel

"Aus Differenzen und Summen kürzen nur die ..."

Ich finde diese Defizite einigermaßen erschreckend, aber nützt ja nix, man kann ja die Leute nicht alle in die Mittelstufe zurückschicken...

07.06.2013, 19:52

Kannt10001

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Zitat:

Original von conlegens
Ich würde nach dem Ableiten immer ausklammern.
Nach der 1. Ableitung bleibt im Zähler:
$\begin{eqnarray*} 2sin2x(x-1)-cos2x \end{eqnarray*}$

Danke, erheblicher Fehler den ich da bishier hin angeschleppt habe.
Darf man den dies auch kürzen ? Ich bin jetzt etwas verunsichert worden bzgl. dem Kürzen.

07.06.2013, 22:40

Kant100001

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Mich würde mal interessieren wie die beste Zusammenfassung dieser Ableitung aussieht damit ich mir ein Bild davon machen kann was ich den nun nicht beachtet habe.

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