Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen

Neue Frage »

08.06.2013, 11:46	banannaarama	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Meine Frage: Die Aufgabe lautet, folgende Ungleichung mit dem Mittelwertsatz zu beweisen: $\begin{eqnarray} n(b-a)a^{n-1} < b^{n}-a^{n}< n(b-a)b^{n-1};<br /> 0<a<b, n\in \mathbb N <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe mir gedacht, ich wähle $\begin{eqnarray} <br /> f:\left[a,b\right] ->\mathbb R, x->x^{n} ; <br /> f'(x_{0}) =\frac{b^{n} -a^{n}}{b-a} <br /> \end{eqnarray}$ Ich leite $\begin{eqnarray} a^{n} \end{eqnarray}$ ab und nehme das * (b-a), damit komme ich auf $\begin{eqnarray} na^{n-1} (b-a)=n(b-a)a^{n-1} \end{eqnarray*}$ , und habe die linke Seite der Ungleichung. Und nun steh ich auf dem Schlauch, ich hab keine Ahnung was mir das sagt, oder wie es weitergeht.
08.06.2013, 13:47	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Wieso leitest du $\begin{eqnarray} a^n \end{eqnarray}$ ab? Das ist eine Konstante.
08.06.2013, 13:55	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Wenn schon, dann musst du das beweisen: $\begin{eqnarray} n(b-a)a^{n-1} \le b^{n}-a^{n}\le n(b-a)b^{n-1}, 0<a<b, n\in \mathbb N \quad () \end{eqnarray}$ denn für n=1 stände sonst da $\begin{eqnarray} b-a < b-a < b-a \end{eqnarray}$ , was offensichtlich nicht stimmen kann. Man kann () umformen zu $\begin{eqnarray} na^{n-1} \le \frac{b^{n}-a^{n}}{b-a}\le nb^{n-1}\quad () \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} f_n(x) = x^n \end{eqnarray}$ . Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (um den soll es sich hier wohl handeln) sagt $\begin{eqnarray} \exists x_0, a < x_0 < b: f_n'(x_0) = \frac{b^{n}-a^{n}}{b-a} \end{eqnarray}$ Jetzt könnte man die strenge Montonie von $\begin{eqnarray} f'_n(x) , 0 <x \end{eqnarray}$ ins Spiel bringen.
08.06.2013, 14:33	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Man könnte natürlich noch einschränken $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ . Dann könnte man zeigen $\begin{eqnarray} n(b-a)a^{n-1} < b^{n}-a^{n}< n(b-a)b^{n-1}, 0<a<b, n\in \mathbb N _+\setminus\{1\} \end{eqnarray}$
08.06.2013, 15:20	banannaarama	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Oh tut mir Leid, da hab ich etwas vergessen, $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ , das < stimmt dafür. Und was ich ableite ist natürlich f(x) an der Stelle x=a. Und ja, es handelt sich um den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, andere (abgesehen von der Verallgemeinerung) hatten wir noch nicht, mir war nicht klar, dass es da Zweideutigkeiten gibt. Vielen Dank, habs nun begriffen, die strenge Monotonie zu erkennen/beweisen war wohl Sinn der Aufgabe, das wurde so noch nicht gesagt, jetzt scheint es so offensichtlich...
08.06.2013, 15:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Wieso leitest du denn aber $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x=a \end{eqnarray}$ ab?
Anzeige

08.06.2013, 15:41	banannaarama	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Hm, ich bin mir nicht sicher ob ich weiß worauf du hinauswillst. Ich leite das da ab, weil ich damit auf die linke Seite der Ungleichung komme und etwas erhalte, das ich vergleichen kann. Dass dabei nur der rechtsseitige Grenzwert existiert ist mir klar, allerdings sehe ich darin bei dieser Funktion kein Problem?
08.06.2013, 15:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Die Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ allein nützt dir nichts. Wir würdest du denn dann damit weiter verfahren? Die Idee ist folgende: Der mittlere Term der Ungleichung entspricht (nach einer Umformung) der Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an irgendeiner Stelle zwischen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ (das sagt der Mittelwertsatz). Diese Ableitung kannst du nach unten und nach oben abschätzen.
08.06.2013, 16:14	banannaarama	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Naja, die Ableitung f'(a) lautet $\begin{eqnarray} na^{n-1} \end{eqnarray}$ und entspricht der linken Seite von RavenONJ´s (**) Formel. Da a<b,n>1 positiv sind, ist die Funktion streng monoton wachsend, und f'(a)<f'(x0)<f'(b) für ein x0 a<x0<b und ich bin fertig. Oder siehst du irgendein Problem damit?
08.06.2013, 16:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Genau das meinte ich. Dazu brauchst du die Ableitung aber allgemein, nicht nur in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ .
08.06.2013, 16:31	banannaarama	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Also, in meiner Lösung habe ich jetzt 3 Ableitungen angegeben: f'(a), f'(x0), f'(b). Und damit die 3 Teile der Ungleichung nach umformen. Dass ich mit der Ableitung f'(a) nur auf die linke Seite der Ungleichung komme, habe ich ja auch im Eingangspost bereits geschrieben. Reden wir irgendwie grade aneinander vorbei? Ich weiß wirklich nicht, worauf du hinauswillst.
08.06.2013, 16:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Im Eingangspost hast du geschrieben, du würdest $\begin{eqnarray} a^n \end{eqnarray}$ ableiten. Danach meintest du, dass du nur $\begin{eqnarray} f'(a) \end{eqnarray}$ bestimmt hast. Du brauchst aber $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in[a,b] \end{eqnarray}$ .
08.06.2013, 16:56	banannaarama	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Warum brauche ich das für alle x? Imo reicht f'(a), f'(b) und f' für ein x0 zwischen a und b. Was soll ich mit allen x?
08.06.2013, 16:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Du weißt aber nicht, welches $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ das ist.
08.06.2013, 17:06	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen @Che Jetzt bist du aber arg spitzfindig...

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen

Verwandte Themen