Funktionsuntersuchung

08.06.2013, 14:11

Chriss_Chriss

Funktionsuntersuchung

Meine Frage:
Hallo,
ich versuche eine Funktion auf folgendes zu Untersuchen: Df, Nst, Randverhalten. Abschließend soll eine Skizze gezeichnet werden.

Die Funktion ist: $\begin{eqnarray*} g(x)=((x^2-x)/((x^3+2x^2-4x-8)ln|x-3|)) \end{eqnarray*}$

Umgefornt habe ich sie in : $\begin{eqnarray*} g(x)=((x(x-1))/((x+2)(x+2)(x-2)ln|x-3|) \end{eqnarray*}$

Mein Df = $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ {-2;2;3;4}
Nst = x=0; x=1
Randverhalten: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4+ } \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4- } \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3+ } \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$
sowie gegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3- } \end{eqnarray*}$ ebenfalls $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$
Hier die Frage ist das richtig?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+ } \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2- } \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$
Hier ebenfalls die Frage ob dies richtig ist?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2+ } \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2- } \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \end{eqnarray*}$ bekomme ich 0
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \end{eqnarray*}$ bekomme ich ebenfalls 0

Kann mir Jemand sagen ob ich richtig gerechnet habe oder was ich falsch gemacht habe? Danke smile

Meine Ideen:
Ich vermute das bis auf 3+/ 3- sowie 2+/ 2- meine Rechnung korrekt ist.

08.06.2013, 14:35

conlegens

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RE: Funktionsuntersuchung
Warum schließt du 4 aus ? 4 ist keine Nullstelle des Nenners.

Soviel von meiner Seite.

08.06.2013, 14:37

Chriss_Chriss

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RE: Funktionsuntersuchung
Doch, da der ln(|4-3|) = ln(1) also 0 ist.

08.06.2013, 15:05

conlegens

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RE: Funktionsuntersuchung
Sorry, Chriss, an das habe ich nicht gedacht bzw. es zu überprüfen vergessen. traurig

08.06.2013, 19:03

thk

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RE: Funktionsuntersuchung
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x(x-1)}{(x+2)^{2}(x-2)\ln|x-3|} \end{eqnarray*}$

Der GW bei x=3 stimmt nicht. Hier haben wir eine hebbare Unstetigkeit.

09.06.2013, 13:45

Chriss_Chriss

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RE: Funktionsuntersuchung
Wie ist denn dann der Grenzwert?

Gerechnet habe ich folgendermaßen: $\begin{eqnarray*} g(x)=((x^2-x)/((x^3+2x^2-4x-8)ln(|x-3|)) = \lim_{x \to 3+} g(x)=((x^2-x)/((x^3+2x^2-4x-8)ln(|x-3|)) = 6/5*5*1*ln(0+) = +/- = -\infty \end{eqnarray*}$

Gleicher Fall für 3-: $\begin{eqnarray*} g(x)=((x^2-x)/((x^3+2x^2-4x-8)ln(|x-3|)) = \lim_{x \to 3+} g(x)=((x^2-x)/((x^3+2x^2-4x-8)ln(|x-3|)) = 6/5*5*1*ln(0+) = +/- = -\infty \end{eqnarray*}$

Da bei 3- der ln(0+) aufgrund des Betrag entsteht. Der ln(0) geht nach $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ wonach sich beide male +/- eregibt und im Endeffekt $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ macht. Das wäre dann eine PST ohne VZW oder liege ich hier falsch mit meiner Rechnung? Genauso habe ich es auch bei den anderen Punkten errechnet. verwirrt

09.06.2013, 20:52

thk

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RE: Funktionsuntersuchung

Zitat:

Original von Chriss_Chriss
... Der ln(0) geht nach $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ...

Ja, aber der ln steht im Nenner!

09.06.2013, 21:35

Chriss_Chriss

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RE: Funktionsuntersuchung
Ja das stimmt und ich verstehe auch das eine Konstante/ unendlich immer kleiner wird, sprich gegen 0 geht. Allerdings wäre das bei den anderen Punkten doch auch der Fall. Diese laufen aber nach unendlich oder nicht? Woran liegt es also genau, dass gerade dieser Punkt gegen 0 läuft? Das verstehe ich nicht so ganz. verwirrt

12.06.2013, 23:16

thk

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RE: Funktionsuntersuchung
Sorry war die letzten Tage off.
Für x->3 geht der Nenner also gegen -unendlich und die Funktion damit ->0.
An den anderen besagten Stellen geht der Nenner gegen 0...

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