Schiefe Funktionenschar gesucht

08.06.2013, 15:17	Rollenspieler	Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefe Funktionenschar gesucht Hallo, ich hoffe ich habe erstmal das richtige Unterforum gewählt, wenn nicht dann bitte ich das Thema dorthin zu schieben wo es hingehört. Mein Anliegen: Ich suche eine spezielle Funktionenschar und hoffe darauf, daß ihr mir dabei weiterhelfen könnt, da ich noch keine zündende Idee hatte. Der Hintergrund zum besseren Verständnis: Aus reinem Eigeninteresse bastele ich an einer computerbasierten Rollenspielmechanik. In Rollenspielen ist es so, daß die Spielfiguren bestimmte Fähigkeiten haben, die meist durch irgendwelche Zahlenwerte definiert sind. Die Anwendung dieser Fähigkeiten besteht darin, diesen Zahlenwert mit einer Zufallszahl (meist einem Würfelergebnis) zu vermengen und daraus als Ergebnis eine Zahl zu bekommen. Wenn das Ergebnis höher als eine vorher festgelegte Zahl (der Schwierigkeitsgrad) ist, war die Aktion erfolgreich, ansonsten nicht. Es gibt natürlich bereits viele Mechaniken in dieser Hinsicht auf dem Markt, die alle jedoch bestimmte Nachteile haben. Viele dieser Mechaniken sind aber auch darauf angelegt, von einem Menschen relativ problemlos berechnet werden zu können, es werden meistens nur ein paar Zahlen addiert. Da in meinem Fall ein Computer die Berechnung übernimmt, kann die Funktionenschar gerne auch etwas komplizierter und aufwendiger zu berechnen sein. Die Funktionenschar sei fa(x): [0,1] -> [0,1], wobei das a den Fähigkeitswert darstellt, der Definitionsbereich die Zufallszahl ist und der Wertebereich letztlich das Ergebnis. Zu den gewünschten Eigenschaften: 1. Jede Funktion der Funktionenschar geht von einem fest definierten Intervall (sagen wir [0,1] oder wenn es einfacher darstellbar ist auch von [-1,1], wichtig jedoch daß der Bereich für alle der gleiche und begrenzt ist) in ein fest definiertes Intervall: [0,1] -> [0,1] 2. Jede Funktion ist monoton steigend 3. Für alle a < b und alle x gilt: fa(x) <= fb(x) 4. Die "Wahrscheinlichkeitsverteilung" sieht in etwa so wie das unten angehängte, etwas verunglückte Bild aus: Für Funktionen mit niedrigen Indizes kommen niedrige Ergebnisse relativ häufig und hohe Ergebnisse relativ selten vor, für Funktionen mit hohen Indizes gilt das Gegenteil. Ideal (aber kein Muß) wäre natürlich, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Funktion "in der Mitte" die Gaußsche Normalverteilung wäre. Die Fläche unter der Verteilung stellt im Prinzip den Definitionsbereich der gesuchten Funktionen dar, die Abszisse das Ergebnis. http://www10.pic-upload.de/08.06.13/9bdilxj9ccv.png Hat jemand da gute Ratschläge oder Ideen, welche Art von Funktionen mir da weiterhelfen könnten? Danke schonmal an alle, die sich darüber Gedanken machen
08.06.2013, 20:22	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schiefe Funktionenschar gesucht Die allgemeine Form könnte so aussehen: $\begin{eqnarray} f_k(x)=\frac{1}{A} e^{-\frac{1}{2}(6(x^k-0.5))^2} \end{eqnarray}$ A wird so gewählt, dass die Fläche unter dem Graphen zwischen 0 und 1 gleich 1 ist. k=1: Normalverteilung 0<k<1: Maximum rückt nach links. Falls deine Funktion achsensymmetrisch zu x=0,5 ist, gelten für Maxima rechts von der Mitte (0<k<1) $\begin{eqnarray} f_k(x)=\frac{1}{A} e^{-\frac{1}{2}(6((1-x)^k-0.5))^2} \end{eqnarray}$ Man könnte für Maxima rechts der Mitte auch k>1 wählen (bei 1. Funktion), dann ist die Funktionsschar aber a) nicht symmetrisch und b) sie fällt am rechten Rand nicht so stark ab wie in deinem Beispiel. Welches k du für welches a nimmst, musst du ausprobieren/-rechnen.
09.06.2013, 14:03	Rollenspieler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, genau so eine Funktionenschar habe ich gesucht.
09.06.2013, 17:35	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schiefe Funktionenschar gesucht Hinweisen möchte ich nochmal auf den Faktor vor den e-Funktionen: die mittlere rote normalverteilte Kurve hat wie auf dem Bild den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{6}{\sqrt{2\pi}}\approx 2,39 \end{eqnarray}$ Für die anderen beiden sind - anders als auf dem Bild- die Faktoren $\begin{eqnarray} \approx 2,61 \end{eqnarray}$ Die 3,2 waren nur grob und zu groß geschätzt wie man auch sieht. Die Faktoren wachsen am Rand etwas an. Das Integral (Wert A) lässt sich nur numerisch, z.B. über einen Online-Integrator lösen.
09.06.2013, 20:48	Rollenspieler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für meine Zwecke brauche ich sogar die verschiedenen Teilflächen unter den Funktionen, leider scheint es da kein elegantes einfaches Integral zu geben, zumindest Wolfram-Alpha streikt wenn ich ihn nach einer allgemeinen Lösung (also mit k) frage. Eine Näherungslösung durch integrieren der Polynomialform kam nach einigem rumprobieren auch nicht in Betracht, da für die gewünschte Genauigkeit und Verteilung zuviele Polynome gebraucht würden, deren Integrale selbst wieder unschöne Zahlenhaufen wären. Deswegen approximiere ich die Flächen jetzt einfach mittels der üblichen "grafischen" Näherungsverfahren (Unterteilung in kleine Rechtecke etc), die Genauigkeit reicht für meine Zwecke völlig aus.

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