Potenzreihe ableiten bzw.in geschlossene Form bringen

08.06.2013, 17:14

Hammerhai

Potenzreihe ableiten bzw.in geschlossene Form bringen

Hallo,

ich hab da so eine Aufgabe, wo ich einfach keinen Ansatz finde wie ich vorgehen soll.

Gegebene Funktion:

$\begin{eqnarray*} f: (-\rho{,}\rho) \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1} {n(n-1) 2^n} x^n \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich den Konvergenzradius bestimmen und $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ in geschlossener Form schreiben.

Den Konvergenzradius hab ich versucht zu bestimmen und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {\rho}=\lim_ {n \to \infty} \left | \frac {n(n-1)2^n} {n(n+1)\cdot 2\cdot 2^n} \right | =\lim_ {n \to \infty} \left |\frac {1} {2} \cdot \frac {(n-1)} {(n+1)} \right |= \frac {1} {2} \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \rho= 2 \end{eqnarray*}$

So und weiter komm ich nicht.

Ich hab noch ein Hinweis bekommen, das ich mithilfe der geometrischen Reihe (ohne unendliche Summe) einen geschlossenen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ finden soll.

Für eine Ansatzhilfe wäre ich dankbar.

08.06.2013, 21:02

Hammerhai

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RE: Potenzreihe ableiten bzw.in geschlossene Form bringen
Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac {1} {n(n-1)2^n} \end{eqnarray*}$

folgt bei der Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

1.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^\infty a_n n x^{n-1}=\sum_{n=2}^\infty a_{n+1}(n+1)x^n \end{eqnarray*}$

2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^\infty a_{n+1}(n+1) n x^{n-1}=\sum_{n=2}^\infty a_{n+2} (n+2)(n+1) x^n \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_{n+2}=\frac {1} {4(n+2)(n+1)2^n} \end{eqnarray*}$

komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {4}\sum_{n=2}^\infty \frac {x^n} {2^n} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist bis hier richtig so..

Aber die Reihe als elementare Funktion darzustellen, da hab ich kein Plan.
In der Aufgabenstellung soll ich die geometrische Reihe anwenden aber ohne unendliche Summe

08.06.2013, 21:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hammerhai
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

1.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{{\color{red}n=3}}^\infty a_n n x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Wohin ist denn der erste Summand, d.h. der für $\begin{eqnarray*} {\color{red}n=2} \end{eqnarray*}$ verschwunden??? Den kannst du doch beim Differenzieren nicht weglassen! unglücklich

09.06.2013, 14:50

Hammerhai

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Hab die Definition im Mathe Repi nachgeschaut.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (n+1) x^n \end{eqnarray*}$

Da hab ich gedacht mach ich bei mir das gleiche.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=2}^\infty a_n x^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac {1} {n(n+1)2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum_{n=3}^\infty a_n n x^{n-1}=\sum_{n=2}^\infty a_{n+1} (n+1) x^n \end{eqnarray*}$

Ist in der Definition ein Schreibfehler oder mach ich bei der Anwendung was falsch?

09.06.2013, 14:55

HAL 9000

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Du hast also leichtfertigerweise daraus die "Regel" aufgestellt

"Der erste Summand einer Potenzreihe verschwindet beim Differenzieren."

Das stimmt - sofern der erste Summand der von der Potenz $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ ist, d.h., eine Konstante! Dazu bedarf es keiner Sonderregel, die Ableitung einer Konstante ist nun mal Null.

Aber hier bei dir ist der erste Summand gleich $\begin{eqnarray*} a_2x^2 \end{eqnarray*}$ , was mitnichten eine Konstante ist!!! Kürzen wir die Sache ab: Für

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1) 2^n} x^n \end{eqnarray*}$

ist ohne diesen falschen Sonderregel-Quatsch

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1) 2^n} nx^{n-1} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) 2^n} x^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) 2^n} (n-1)x^{n-2} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n} x^{n-2} = \frac{1}{4} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} x^n \end{eqnarray*}$ ,

d.h. erst im letzten Schritt eine Indexverschiebung gleich um 2 Positionen.

EDIT: Verflucht noch mal, jetzt ist der schon wieder verschwunden. Anscheinend besteht kein ernstes Interesse an der Lösung der Aufgabe. unglücklich

09.06.2013, 16:25

Hammerhai

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Sry, ich arbeite noch an anderen Integralaufgaben und Kurvendiskussion, deshalb konnt ich nicht hier sein.

Dann hab ich richtig angewandt bloß n=2 als Konstante gesehen und verschwinden lassen.

Also folgt aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac {1} {4} \cdot \frac {x^n} {2^n}=\frac {1} {4} \cdot \frac {1} {1-\frac {x} {2}}=-\frac {1} {2(x-2)} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac {1} {2(x-2)} \end{eqnarray*}$ ?

Ich verstehe bloß nicht warum ich in der Aufgabe den Hinweis (Geben Sie f''(x) mit Hilfe der geometrischen Reihe (ohne unedliche Summe) in geschlossener Form an) bekomme.

Ich hab den Intervall von f gegeben mit $\begin{eqnarray*} -2<x<2 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann einfach sagen

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac {1} {2(x-2)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -2<x<2 \end{eqnarray*}$ ?

Danke auf jeden Fall für die superschnelle Antwort!

09.06.2013, 17:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hammerhai
Ich verstehe bloß nicht warum ich in der Aufgabe den Hinweis (Geben Sie f''(x) mit Hilfe der geometrischen Reihe (ohne unedliche Summe) in geschlossener Form an) bekomme.

Anscheinend merkst du nicht, dass du diesen Hinweis jetzt doch schon befolgt hast, indem du bei

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac {x^n} {2^n} = \frac {1} {1-\frac {x} {2}} \end{eqnarray*}$

die Reihenwertformel der geometrischen Reihe nutzt. smile

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