Grad einer Körpererweiterung

08.06.2013, 19:10

Kap

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Grad einer Körpererweiterung

Abend.

Ich habe eine Frage zur Bestimmung des Grades einer Körpererweiterung.

Vor.: $\begin{eqnarray*} a : = \sqrt{2}, b:= e^{\frac{2 \pi i}{3}} \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß folgendes:
- die Minimalpolynome lauten $\begin{eqnarray*} \mu (a) = t^2 -2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mu (b) = t^2 +t+1 \end{eqnarray*}$ .
- $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a) : \mathbb Q]= 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(b) : \mathbb Q]=3 \end{eqnarray*}$
- damit gilt: $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \leq 5 \end{eqnarray*}$
- es gilt: $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q]=[ \mathbb Q(a+b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$

Ich habe allerdings keine Ahnung, wie ich jetzt zum Gesuchten komme.
Hilft mir jemand?

08.06.2013, 19:33

Captain Kirk

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Nabend.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \leq 5 \end{eqnarray*}$

Tipp(?)fehler: 6 statt 5.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q]=[ \mathbb Q(a+b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$

Dann könnte man hier das Min.pol von a+b angeben und hätte direkt die Dimension.

Andere Vorschläge:
Zeige $\begin{eqnarray*} a\notin \mathbb Q(b) \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b):\mathbb Q(b)]\geq 2 \end{eqnarray*}$ , dank dem Min.pol von a über den rationalen Zahlen gilt Gleichheit.

Oder ein allgemeinerer Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a), \mathbb Q(b) \end{eqnarray*}$ sind Zwischenkörper der Erweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a,b)/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , daher müssen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a):\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(b):\mathbb Q \end{eqnarray*}$ Teiler von
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a,b):\mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Damit ist 6 ein Teiler von letzerem Grad und es folgt wiederum Gleichheit.

08.06.2013, 19:43

mathinitus

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RE: Grad einer Körpererweiterung

Zitat:

Original von Kap
Abend.

Ich habe eine Frage zur Bestimmung des Grades einer Körpererweiterung.

Vor.: $\begin{eqnarray*} a : = \sqrt{2}, b:= e^{\frac{2 \pi i}{3}} \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß folgendes:
- die Minimalpolynome lauten $\begin{eqnarray*} \mu (a) = t^2 -2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mu (b) = t^2 +t+1 \end{eqnarray*}$ .
- $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a) : \mathbb Q]= 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(b) : \mathbb Q]=3 \end{eqnarray*}$
- damit gilt: $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \leq 5 \end{eqnarray*}$
- es gilt: $\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q]=[ \mathbb Q(a+b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$

Ich habe allerdings keine Ahnung, wie ich jetzt zum Gesuchten komme.
Hilft mir jemand?

Also das stimmt so einges nicht! Zum Beispiel ist der Grad einer einfachen algebraischen Erweiterung ja immer der des Minimalpolynoms. Wie passt das mit deinem Polynom von b zusammen?

Meinst du für beliebige a,b gilt das?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(a,b) : \mathbb Q]=[ \mathbb Q(a+b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$

Dann setze mal b:=-a.

08.06.2013, 19:43

Mulder

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RE: Grad einer Körpererweiterung

Zitat:

Original von Kap

$\begin{eqnarray*} [ \mathbb Q(b) : \mathbb Q]=3 \end{eqnarray*}$

Wieso denn das? verwirrt

verwirrt

Edit: Das mit Q(a,b)=Q(a+b) ist wohl auf diesen Fall hier bezogen...

08.06.2013, 20:09

Kap

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Danke euch allen für eure Antworten!
Es muss natürlich heißen:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(b) : \mathbb Q] =2 \end{eqnarray*}$ und somit auch
$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \leq 4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Edit: Das mit Q(a,b)=Q(a+b) ist wohl auf diesen Fall hier bezogen...

Diese Gleichheit bezieht sich hier nur auf die angegeben a und b. Ich habe die Gleichheit bereits mit dem Satz vom primitiven Element gezeigt.

Gesucht ist lediglich $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$ bzw aufgrund der Gleichheit $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a+b) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$ .

Bis jetzt habe ich die Dimensionen immer über das Minimalpolynom bestimmt. Mir ist aber hier nicht klar wie ich überhaupt zum Minimalpolynom komme.

Grüße

08.06.2013, 20:31

Captain Kirk

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Wie man zum Min.pol kommt?
Relativ einfach: Potenziere a+b solange (hier bis 4) bis du eine Potenz als Summe von Vielfachen der kleineren Potenzen schreiben kannst.

Zu meinen Vorschlägen von oben (der letzte funktioniert hier wegen falscher Grade nicht) kann man hier noch was ganz banales machen:
Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(b) \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a,b) \neq \mathbb Q(b) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Diese Gleichheit bezieht sich hier nur auf die angegeben a und b. Ich habe die Gleichheit bereits mit dem Satz vom primitiven Element gezeigt.

Rein interessehalber: Wie hast du das gemacht? Ich kenn keine Version des Satzes vom primitiven Element der konkret ein primitives Element angibt.

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08.06.2013, 22:01

mathinitus

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Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(b) \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a,b) \neq \mathbb Q(b) \end{eqnarray*}$

Du meinst wahrscheinlich Teilmenge und nicht Element.

09.06.2013, 09:30

Kap

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Zitat:

Rein interessehalber: Wie hast du das gemacht? Ich kenn keine Version des Satzes vom primitiven Element der konkret ein primitives Element angibt.

Wir haben im Beweis vom Satz direkt eine Form des primitiven Elements angegeben. So in der Art: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a+b) = \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ , wenn c von der Form $\begin{eqnarray*} c=a+ \lambda b \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \neq \frac{a-a_i}{b-b_j} \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von a bzgl eines Zerfällungskörpers sind und die $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von b bzgl eines Zerfällungskörpers.

Zitat:

Wie man zum Min.pol kommt?
Relativ einfach: Potenziere a+b solange (hier bis 4) bis du eine Potenz als Summe von Vielfachen der kleineren Potenzen schreiben kannst.

Ich verstehe das leider nicht. Wenn ich also ausrechne:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^4 = a^4 +4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 = \sqrt{2}^4 + 4\sqrt{2}^3 e^{\frac{2\pi i}{3}} +6 \cdot 2 (e^{\frac{2\pi i}{3}} )^2 + 4\sqrt{2} ( e^{\frac{2\pi i}{3}})^3 + ( e^{\frac{2\pi i}{3}})^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4 + 8\sqrt{2} e^{\frac{2\pi i}{3}} + 12( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 + 4\sqrt{2} + e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3 = a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3 = \sqrt{2}^3+3\cdot 2 e^{\frac{2\pi i}{3}} +3\sqrt{2}( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 +1 = 2\sqrt{2} + 6 e^{\frac{2\pi i}{3}} +3\sqrt{2}( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2= a^2+2ab+b^2= 2 + 2\sqrt{2} e^{\frac{2\pi i}{3}} +( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+b= \sqrt{2}+ e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$

Und nun?

09.06.2013, 10:27

ollie3

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hallo,
...doch, das funktioniert wirklich, du müsstest jetzt noch die ausdrücke für
(a+b), (a+b)^2 und (a+b)^3 weiter zusammenfassen und nach potenzen
von e^(2*pi*i/3) ordnen, dann hättest du ein gleichungssytem mit 3 gleichungen und 3 variablen und könntest somit durch koeffizientenvergleich die
3 vielfachen bestimmen, die man braucht um (a+b)^4 darzustellen.
gruss ollie3

09.06.2013, 11:34

Kap

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Zitat:

hallo,
...doch, das funktioniert wirklich, du müsstest jetzt noch die ausdrücke für
(a+b), (a+b)^2 und (a+b)^3 weiter zusammenfassen und nach potenzen
von e^(2*pi*i/3) ordnen, dann hättest du ein gleichungssytem mit 3 gleichungen und 3 variablen und könntest somit durch koeffizientenvergleich die
3 vielfachen bestimmen, die man braucht um (a+b)^4 darzustellen.

Hallo ollie3!
Dass das funktioniert glaube ich euch! Ich verstehe allerdings die Methode an sich nicht. Wie kann ich denn (a+b)^3, (a+b)^2 und (a+b) weiter zusammenfassen?

Wenn ich einfach nach Potenzen von b sortiere, erhalte ich doch folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 8\sqrt{2} \\ 12 \\4\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} \\6 & 2\sqrt{2} & 1\\ 3\sqrt{2} & 1 & 0 \\1 &0&0 \\0&0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber das kann doch nicht stimmen? Alleine die letzte Zeile wäre ein Widerspruch.

09.06.2013, 12:30

Mystic

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Zitat:

Original von Kap
Aber das kann doch nicht stimmen? Alleine die letzte Zeile wäre ein Widerspruch.

Es geht doch hier darum, ob es eine Basis mit 4 oder nur mit 2 Elementen gibt... Du bringst da mit {a,b,c} (was ist übrigens c dabei?) eine neue Variante ins Spiel, die gar nicht zur Diskussion steht... geschockt

geschockt

Ich frage mich eigentlich die ganze Zeit schon, warum du $\begin{eqnarray*} b=e^{2i\pi/3} \end{eqnarray*}$ nicht endlich gegen $\begin{eqnarray*} b=\sqrt3\ i \end{eqnarray*}$ austauscht... Gleiche Problemstellung, aber alles sehr viel leichter und übersichtlicher... Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.06.2013, 12:40

ollie3

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hallo,
da hast du etwas falsch gemacht, man muss hier zu 3 gleichungen mit drei variablen kommen, der ansatz ist ja
(a+b)^4= c_1*(a+b)+ c_2*(a+b)^2+c_3*(a+b)^3, und man kann
jeden der ausdrücke (a+b), (a+b)^2 und (a+b)^3 wie gesagt nach potenzen
von b ordnen und zusammenfassen, am besten schreibt man das untereinander
und betrachtet die jeweiligen koeffizienten, die zu b^0, b^1,und b^2 gehören.
gruss ollie3

09.06.2013, 13:14

Kap

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Zitat:

und man kann
jeden der ausdrücke (a+b), (a+b)^2 und (a+b)^3 wie gesagt nach potenzen
von b ordnen

$\begin{eqnarray*} (a+b)^1= \sqrt{2} b^0 + 1\cdot b^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = 2 \cdot b^0 + 2\sqrt{2} b^1 + 1 \cdot b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)^3 = 2\sqrt{2}b^0 + 6b^1 +3\sqrt{2}b^2+1b^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)^4 = 4b^0+8\sqrt{2}b^1+12b^2+4\sqrt{2}b^3 + 1b^4 = \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt nach Potenzen von b sortiert.
Ich sehe aber wie gesagt einfach nicht wie ich jetzt auf so eine Form kommen soll: (a+b)^4= c_1*(a+b)+ c_2*(a+b)^2+c_3*(a+b)^3.

09.06.2013, 13:31

ollie3

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hallo,
ach ja, du musst dabei natürlich ausnutzen, das dein b nicht beliebig ist,
sondern b=e^(2*pi*i/3) , das ist doch die 3.primitive einheitswurzel, und das
gilt b^3=1 und b^4=b. Dann vereinfachen sich die gleichungen und man
hat tatsächlich 3 gleichungen mit 3 variablen.
gruss ollie3

09.06.2013, 13:51

Kap

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Okay, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^4 = 4b^0 + 8\sqrt{2}b^1 + 12b^2+4\sqrt{2}b^3+1b^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (4+4\sqrt{2})b^0 + (8\sqrt{2} +1)b^1 +12b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3 = (2/sqrt{2}+1)b^0+6b^1+3\sqrt{2}b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2= 2b^0 +2\sqrt{2}b^1+1b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^1 = \sqrt{2}b^0 + 1b^1 \end{eqnarray*}$

Ich erhalte dann als Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4+4\sqrt{2} \\ 8\sqrt{2}+1 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2}+1& 2 & \sqrt{2}\\ 6& 2\sqrt{2}& 1 \\ 3\sqrt{2}& 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt soweit korrekt?
Wenn ja, was muss ich jetzt machen?

09.06.2013, 14:14

ollie3

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hallo,
ja, und jetzt hast du ein normales lin. gleichungssystem, das man auf die übliche weise löst (die matrix
auf die form mit den 1en auf der diagpnale bringen) und hast dann als ergebnis die gesuchten
c_1, c_2 und c_3.
gruss ollie3

09.06.2013, 14:27

Kap

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Ich erhalte als Lösung $\begin{eqnarray*} c_1 = 3\sqrt{2}, c_2= -6, c_3 =1+2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Wäre dann das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu(a+b) = t^4 -3\sqrt{2}t^3-6t^2-(1+2\sqrt{2})t \end{eqnarray*}$ ?

Das kann doch aber nicht richtig sein, das ist ja kein Polynom aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[t] \end{eqnarray*}$ ...

09.06.2013, 19:38

Kap

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Ich würde diese Methode wirklich gerne verstehen, da sie eine Art allgemein gültiges Kochrezept zu sein scheint.

Wenn mir jemand sagen könnte was ich falsch gemacht habe, wäre das super. Freude

Freude

09.06.2013, 19:56

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} (a+b)^4 = a^4 +4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 = \sqrt{2}^4 + 4\sqrt{2}^3 e^{\frac{2\pi i}{3}} +6 \cdot 2 (e^{\frac{2\pi i}{3}} )^2 + 4\sqrt{2} ( e^{\frac{2\pi i}{3}})^3 + ( e^{\frac{2\pi i}{3}})^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4 + 8\sqrt{2} e^{\frac{2\pi i}{3}} + 12( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 + 4\sqrt{2} + e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3 = a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3 = \sqrt{2}^3+3\cdot 2 e^{\frac{2\pi i}{3}} +3\sqrt{2}( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 +1 = 2\sqrt{2} + 6 e^{\frac{2\pi i}{3}} +3\sqrt{2}( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2= a^2+2ab+b^2= 2 + 2\sqrt{2} e^{\frac{2\pi i}{3}} +( e^{\frac{2\pi i}{3}})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+b= \sqrt{2}+ e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$
Du hast die MIn.pol. von a und b, kannst demtentsprechend die Potenzen von a,b durch (im Allgemeineren kleinere Potenzen) a,b ausdrücken, also $\begin{eqnarray*} b^2=-b-1 \end{eqnarray*}$ .
Du kriegst du Gleichungen jeweils in die Form: $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta a+\gamma b +\delta ab \end{eqnarray*}$
Wenn man dann das Min.pol nicht gleich sieht kann man hier dann ein 4x4 LGS aufstellen.

Oder gleich, wie irgendwo hier im Thread geschrieben b in der Form u+iv darstellen.

Zitat:

Wir haben im Beweis vom Satz direkt eine Form des primitiven Elements angegeben. So in der Art: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a+b) = \mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ , wenn c von der Form $\begin{eqnarray*} c=a+ \lambda b \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \neq \frac{a-a_i}{b-b_j} \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von a bzgl eines Zerfällungskörpers sind und die $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ die Nullstellen des Minimalpolynoms von b bzgl eines Zerfällungskörpers.

Nehme an da soll $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a,b)=\mathbb Q(c) \end{eqnarray*}$ . Wie du hier auf $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ kommst ist mir schleierhaft.

P.S. wie eigentlich bereits erwähnt: Die Bestimmung des Min.pol von a+b ist hier eigentlich der aufwendigste Weg den Grad zu bestimmen.

09.06.2013, 20:25

Mystic

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Wie schon erwähnt, geht es hier wegen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt 2, e^{2i\pi/3})=\mathbb{Q}(\sqrt 2,\sqrt 3 \ i) \end{eqnarray*}$

eigentlich nur um die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \ i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ liegt, d.h., von der Form $\begin{eqnarray*} a+b \sqrt 2 \ (a,b \in \mathbb Q) \end{eqnarray*}$ ist oder nicht und das sollte allein durch "scharfes Hinsehen" schon entscheidbar sein...

09.06.2013, 21:57

Kap

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Zitat:

eigentlich nur um die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \ i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ liegt, d.h., von der Form $\begin{eqnarray*} a+b \sqrt 2 \ (a,b \in \mathbb Q) \end{eqnarray*}$ ist oder nicht und das sollte allein durch "scharfes Hinsehen" schon entscheidbar sein...

Aber welche Formel gibt mir mit dem Wissen dann, dass $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b):\mathbb Q] = 4 \end{eqnarray*}$ ? Ich verstehe ja, dass b nicht in Q(a) liegt, aber wieso liefert mir das den Grad? verwirrt

verwirrt

Tut mir Leid, wenn ich bei dem Thema nicht schnell von Begriff bin, aber mir fällt das ganze noch ziemlich schwer. smile

smile

09.06.2013, 22:02

Mulder

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Der Gradsatz ...

09.06.2013, 22:10

Kap

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Zitat:

Der Gradsatz ...

Ja, den kenne ich ja, aber ich sehe nicht, warum der gilt.
Für den Gradsatz wird doch vorausgesetzt, dass (Notation wie im Wikipediaartikel) $\begin{eqnarray*} K \subseteq L\subseteq M \end{eqnarray*}$ gilt.
Sowas habe ich hier doch aber nicht. Ich weiß zwar, dass jeweils Q(a) und Q(b) Teilmengen von Q sind, aber ich habe keine Relation zwischen Q(a) und Q(b), eines der beiden müsste ja das andere enthalten, damit ich den Gradsatz anwenden kann. Aber Q(a) enthält wie wir festgestellt haben sicher nicht Q(b). Aber Q(b) enthält doch auch nicht Q(a).

09.06.2013, 22:14

Mulder

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Nö.

Du hast die Erweiterung Q(a):Q vom Grad 2. Und du weißt, dass b nicht in Q(a) liegt, also ist die Erweiterung Q(a,b):Q(a) eine "echte" Körpererweiterung und daher mindestens von Grad 2.

Und du kannst dir auch leicht überlegen, dass das genau 2 sein muss.

09.06.2013, 22:28

Kap

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Hammer

Logisch.
Ich sage einfach:
$\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] = [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q(a)][\mathbb Q(a) : \mathbb Q] = [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q(a)] \cdot 2 \end{eqnarray*}$
Und weil $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a,b) \neq \mathbb Q(a) \end{eqnarray*}$ , folgt: $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q(a)] \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss ich nur noch begründen, warum $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q] \leq 4 \end{eqnarray*}$ gilt und wäre fertig.
Gibt es auch dafür einen Satz oder eine Formel?
Die einzige Begründung, die mir einfällt, wäre dass wenn ich die zwei Basen vereinige, ich ein Erzeugendensystem mit Länge 4 von Q(a,b) hätte. Aber das müsste ja eigentlich hinken, da ich garnicht weiß von welcher Form Q(a,b) ist.

09.06.2013, 22:35

Mulder

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Du kannst $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q(a)] \end{eqnarray*}$ auch auch direkt bestimmen. Schau dir doch nochmal dein Minimalpolynom von b über Q an. Ist dieses Polynom auch irreduzibel über Q(a)?

Q(a,b) ist ja nix anderes als Q(a) adjungiert b.

09.06.2013, 22:44

Kap

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Zitat:

Du kannst $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(a,b) : \mathbb Q(a)] \end{eqnarray*}$ auch auch direkt bestimmen. Schau dir doch nochmal dein Minimalpolynom von b über Q an. Ist dieses Polynom auch irreduzibel über Q(a)?

Ja müsste es doch eigentlich sein. Das Polynom hat ja nur komplexe Nullstellen, aber in Q(a) sind ja nur reele Elemente.

Aber es wäre ja nicht das Minimalpolynom. Es gilt ja nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}^2 + \sqrt{2} +1 =0 \end{eqnarray*}$ ?

09.06.2013, 22:46

Mulder

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RE: Grad einer Körpererweiterung
Wieso setzt du in das Mipo von b denn jetzt a ein??

09.06.2013, 22:50

Kap

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RE: Grad einer Körpererweiterung
Upps! Hammer

Hammer

Ja stimmt klar. Wenn ich b einsetze wird b^2+b zu -1 und somit b^2+b+1=0.
Da das Polynom somit normiert und irred. ist und b eine Nullstelle ist, ist es das Minimalpolynom und somit [Q(a,b):Q(a)]=2.

Ich danke dir. smile

smile

Und allen anderen auch.

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