Funktion ableiten (Taylorpolynom bilden)

08.06.2013, 21:41

Kant10001

Funktion ableiten (Taylorpolynom bilden)

Ich möchte gerne folgende Funktion ableiten:

$\begin{eqnarray*} \left(-2,2\right) \Rightarrow \mathbb R ,f(x):=x^{3}+\frac{1}{| x|-2 } \end{eqnarray*}$

Meine Fragen:

1) Wie geh ich bei solchen Betragsfunktionen vor um die Ableitungen zu bestimmen?
2) Ändert der Definitionsbereich (-2,2) etwas an meiner Ableitung und dem zugehörigen Taylorpolynom 3. Grades zu bestimmen? Oder ist das Intervall nicht wichtig, was ich jedoch nicht denke.

08.06.2013, 22:29

Kant10001

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Ist es richtig eine Fallunterscheidung zu machen ? Wenn ja für welchen Punkt xo ? Nach der Fallunterscheidung vermute ich mal, das ich einfach jede abschnittsweise definiunktion einzeln ableite und zwei Taylorpolynome aproximiere.

09.06.2013, 00:12

Dopap

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RE: Funktion ableiten (Taylorpolynom bilden)
ich würde es so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f:\quad ]-2,2[ ~\to \mathbb R , ~x \mapsto x^{3}+\frac{1}{| x|-2 } \end{eqnarray*}$

persönlich liebe ich die verdrehten eckigen Klammern auch nicht, aber man hat mir gesagt, dass das wegen Verwechselung mit einen 2 Tupel notwendig sei.

Ich bin mir in der Beantwortung auch nicht sicher. Ich hab mal meinem Taschenrechner

$\begin{eqnarray*} f: x \mapsto x^{3}+\frac{1}{\sqrt{x^2}-2 } \end{eqnarray*}$

anvertraut und der hat vollkommen unbeeindruckt für $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_4(x,0)=-\frac {1}{32}x^4+\frac {15}{16} x^3-\frac 1 8 x^2-\frac 14 x - \frac 12 \end{eqnarray*}$

ausgespukt. Grafisch sieht das schon ganz ordentlich aus. Die 4-te Ableitung ist ein Bruch aus 2 Polynomen 4.ten Grades. Also noch "im Rahmen"

Das nur mal so als offensichtlich tragfähige Idee.

09.06.2013, 00:39

10001000Nick1

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Zur Ableitung: Da brauchst du keine Fallunterscheidung. Den zweiten Summanden kannst du ganz normal mit der Quotientenregel ableiten. Die einzige kleine Schwierigkeit dabei ist, die Ableitung von |x| rauszukriegen.

09.06.2013, 01:26

Dopap

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Ich versuche ja immer etwas Konkretes anzubieten.

@Nick: solchen Antworten umgibt oft etwas Schleierhaftes: der Antwortgeber verschwimmt mit seiner Antwort etwas im Nebel, kann sich aber immer auf das Boardprinzip zurückziehen.
Was ist jetzt eigentlich deine Aussage ?

und ist die jetzt hilfreich für den Fragesteller ?

09.06.2013, 01:52

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Kant10001
Ist es richtig eine Fallunterscheidung zu machen ?

Eigentlich war es meine Absicht, auf diese Frage zu antworten.

09.06.2013, 15:09

Kant100001

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Zur Ableitung: Da brauchst du keine Fallunterscheidung. Den zweiten Summanden kannst du ganz normal mit der Quotientenregel ableiten. Die einzige kleine Schwierigkeit dabei ist, die Ableitung von |x| rauszukriegen.

Müsste man den nicht aber eine Fallunterscheidung machen um den Betrag von x zu differenzieren? Und wieso gilt das nicht hier? Ich habe mich im Internet umgeschaut, jedoch nichts vergleichbares gefunden.

09.06.2013, 16:49

10001000Nick1

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=|x| \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{|x|}{x}. \end{eqnarray*}$ Das gilt für ale x ungleich 0. Also ohne Fallunterscheidung.
Bei x=0 ist |x| nicht differenzierbar.

09.06.2013, 20:54

Kant100001

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Also ich habe im Internet auf mehreren Seiten gelesen, dass man bei Beträge einfach eine Fallunterscheidung macht und diese dann einzeln ableitet. Wie so ist das nicht hier der Fall. Vielen dank im übrigen für die tolle Hilfe!. Freude

09.06.2013, 22:43

Dopap

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vielleicht darf ich noch anmerken, dass das Symbol des Betrages nur eine Kurzschreibweise für einen teildefinierten Ausdruck ist.

$\begin{eqnarray*} |x| = \begin{cases} x & x ~ \geq 0 \\ -x &~ x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ersatzweise geht auch $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2} \end{eqnarray*}$ wenn klar ist das das kein Potenzausdruck ist ( nur für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ) sondern die Hintereinanderausführung zweier Operationen ( weil dann für alle x definiert )

10.06.2013, 01:08

Kant100001

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Jetzt bin ich etwas durcheinander. 10001000Nick1 hat mir die Ableitung bereits gesagt von Betrag x. Nach dir Dopap soll ich, wie ich bereits vermutet hatte, eine Fallunterscheidung machen oder?

Sorry, ich bin etwas verwirrt, da ich noch nie Beträge abgelitten hatte.

10.06.2013, 08:08

Mystic

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Zitat:

Original von Kant100001
Sorry, ich bin etwas verwirrt, da ich noch nie Beträge abgelitten hatte.

Ja, diese Sache mit den Beträge muss man halt einmal "durchleiden", aber wenn man sie dann abgelitten hat, sieht man dass es gar nicht so schwer war... Big Laugh

Wie Dopap richtig sagte, gilt ja uneingeschränkt

$\begin{eqnarray*} |x|=\sqrt{x^2} \quad \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Jetzt leite einfach mal die rechte Seite mithilfe der Kettenregel ganz normal ab und substituiere dann für den Wurzelausdruck, indem du obige Gleichung jetzt von rechts nach links liest... Augenzwinkern

10.06.2013, 22:00

Kant10001

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Hallo ich bin es nocheinmal. Hat etwas länger gedauert.

Also kann ich nun $\begin{eqnarray*} |x|=\sqrt{x^2} \quad \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ setzen? Und einfach mit der Wurzel die ableitungen bllden (Was mir bekannt ist). Die Gleichheit gilt wahrscheinlich wie die Quadratwurzel x^2 immer positive Werte abbimmt wie der Betrag x oder?

Das ist doch aber sicher nicht immer der Fall, dass man es so setzen kann. Wenn ich eine Funktion h#tte die teilweise aus Beträgen besteht, muss ich dann eine Fallunterscheidung machen? Also mir geht es darum zu weissen, ob das gerade hier im Fall nur Glück war, dass man es umschreiben kann ohne einer Fallunterscheidung.

10.06.2013, 22:06

Kant10001

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Ich möchte mich für die Rechtschreibung entschuldigen. Sie kommt zustande, da ich am Laptop schreibe und der Curso ab und zu hin und her springt.

10.06.2013, 23:03

Dopap

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also nochmal: Das Taylorpolynom 6-ten Grades mit dem Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$

ist schon ziemlich gut. Es wurde keine Fallunterscheidung gemacht, lediglich |x| durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ersetzt.
Selbstredend kann das Polynom nicht das (ganze) Intervall ]-2;2[ abdecken.

11.06.2013, 00:06

Mystic

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Zitat:

Original von Kant10001
Also kann ich nun $\begin{eqnarray*} |x|=\sqrt{x^2} \quad \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ setzen? Und einfach mit der Wurzel die ableitungen bllden (Was mir bekannt ist).

Ja, ebendies war der Vorschlag...

Zitat:

Original von Kant10001
Die Gleichheit gilt wahrscheinlich wie die Quadratwurzel x^2 immer positive Werte abbimmt wie der Betrag x oder?

Wenn du "positiv" durch "nichtnegativ" ersetzt, sag ich auch dazu ja... Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kant10001
Das ist doch aber sicher nicht immer der Fall, dass man es so setzen kann. Wenn ich eine Funktion h#tte die teilweise aus Beträgen besteht, muss ich dann eine Fallunterscheidung machen? Also mir geht es darum zu weissen, ob das gerade hier im Fall nur Glück war, dass man es umschreiben kann ohne einer Fallunterscheidung.

Soferne im Ausdruck nur Beträge im Spiel sind, und das können natürlich auch mehrere sein, kannst du einer Fallunterscheidung immer auf diese Weise aus dem Weg gehen...

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