Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
Meine Frage:
Hallo Leute, ich brauche etwas Hilfe bei der folgenden Aufgabe!

Es Sei [AB] ein Segment einer Gerade, und größer als die Länge von [AB]. Zeigen Sie dass die Verbindungskurve der Länge , die mit [AB] zusammen den größtmöglichen Flächeninhalt einschließt, ein Kreisbogen durch die Punkte A und B ist.

Meine Ideen:
Ich denke mal, dass da die Isoperimetrische Ungleichung bereits helfen könnte! Ist das der richtige Gedanke?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
Betrachte diesen Kreisbogen und wähle eine Länge , mit der dieser zu einem Vollkreis ergänzt wird.
Jetzt kannst du eine Aussage über Kurven der Länge machen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
Hallo vielen Dank schon mal!

Also sei die Kurve mit der Länge:

diese ist die Kurve unter allen Kurven der Länge die den größtmöglichen Flächeninhalt einschließt. (isoperi. Problem)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
verwirrt
Du meinst wohl, dass ein Kreis mit Umfang den Flächeninhalt zu gegebener Länge maximiert.
Ja. Und kann die Länge größer werden, wenn man von den Kurven zusätzlich noch fordert, dass sie die Punkte und durchlaufen sollen?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
ja genau, das meinte ich!

Ich müsste doch ohne Einschränkung fordern können, dass die Punkte A und B auf dem Kreis liegen. Länger wird dadurch aber nichts.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
Ja. Damit ist der Kreis mit Umfang diejenige Kurve durch die beiden Punkte mit gegebener Länge, welche den größten Flächeninhalt einschließt.
Was ergibt dies für die Teilflächen, die auf beiden Seiten des Geradensegments entstehen?
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
Ich nehme mal ganz stark an, dass die Teilflächen die auf den beiden Seiten des Geradensegments entstehen, ebenfalls maximalen Flächeninhalt einschließen für gegebene Länge auf dieser Seite!

Damit hätte ich die Aussage ja im Grunde genommen schon.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
Genau.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isoperimetrisches Problem für den Halbkreis
Super! Danke! Freude
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